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자연수의 거듭 제곱의 합 (시그마 공식 유도) - ∑k, ∑k², ∑k³, ∑k⁴ 이 포스팅은 자연수의 거듭제곱의 합 공식 유도에 관한 글 입니다. 여러가지 수열에서 처음 등장하는 시그마(∑). 시그마를 잘 다루기 위해서는 관련 공식을 이해하고 적용하는 게 중요한데요. 그 중 자연수의 거듭제곱의 합에 관한 공식이 많이 쓰이기 때문에 이를 반드시 알아둬야 합니다. 이번 포스팅에서는 자연수의 n제곱의 합의 공식을 유도하고, 그 방법론을 제시하고자 합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 자연수의 거듭제곱의 합 공식이 궁금한 학생 2. 시그마(sigma)관련 공식 유도가 궁금한 학생 3. 자연수의 제곱, 세제곱, 네제곱 등의 합이 궁금한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 자연..

고등수학 2021. 2. 28. 09:47

(수열)계차수열의 직관적 이해 이 포스팅은 수열 중 특이한 계차수열의 직관적 이해에 관한 글 입니다. 계차수열은 수학1의 '여러가지 수열'파트에 등장하는 수열로, 그 적용범위가 매우 넓습니다. 이번 글에서는 계차수열 중 특이한 형태를 가지는 수열을 소개하고, 이를 직관적으로 이해하는 법을 함께 고민해보겠습니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 계차수열이 궁금한 학생 2. 계차수열에 대한 감이 부족한 학생 3. 수열을 좀 더 감각적으로 이해하고자하는 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 계차수열이란? (계차수열의 정의) 어떤 수열의 각 항의 차가 다시 일정한 수열을 이룰 때, 그 수열을 계차수열이라고 명명합니다. 원래의 수열과 계차수열간의 관계를 점화식으로 표현하면 다음과 같..

고등수학 2021. 2. 28. 09:42

(행렬 특이한 증명) A³=O 이면 A²=O 이다. 이 포스팅은 행렬의 진위판정 중 증명과정이 특이한 명제 「A³=O이면 A²=O이다(A^3=O 이면 A^2=O)」 에 관한 글 입니다. 일반적인 행렬 진위판정기법(교환법칙 이용, 반례 이용 등)과 거리가 먼 이 명제의 증명은 행렬의 여러 개념을 어떻게 적용하는 지 공부해 볼 수 있는 좋은 재료입니다. 학생 때 이 증명을 해보고 많은 도움이 된 경험이 있기에 이렇게 소개하고자 합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 행렬의 진위판정 문제를 잘 못 푸는 학생 2. 행렬 관련 증명이 힘겨운 학생 3. 명제 「A³=O이면 A²=O이다」 자체의 증명에 관심이 있는 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 문제 2..

카테고리 없음 2021. 2. 28. 09:38

부분분수의 변형 - 두 개짜리, 세 개짜리 이 포스팅은 수열에 등장하는 부분분수의 변형에 관한 글 입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 부분분수의 변형 공식이 궁금한 학생. 2. 부분분수의 변형의 쓰임이 궁금한 학생. 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 부분분수의 변형 공식 1) 두 개짜리 부분분수 1/AB 2) 세 개짜리 부분분수 1/ABC 공식 유도 및 적용 두 식에서 우변의 괄호 안을 통분해서 정리하면 쉽게 좌변을 이끌어낼 수 있습니다. 이는 눈짐작으로도 쉽게 할 수 있기에 공식 유도는 생략합니다. (부분분수의 변형 공식은 특정 식에서 출발하는 게 아니라 이처럼 다소 직관적으로 얻어낼 수 있는 식 입니다.) 두 개짜리 부분분수는 수열의 급수(시..

고등수학 2021. 2. 28. 09:33

무한급수 ∑1/n 의 발산 증명 (∑1/k 발산) 이 포스팅은 무한급수 ∑1/n (sigma 1/n )이 발산함을 증명하는 글 입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 무한급수와 무한수열의 관계 정립이 잘 안 된 학생 2. 무한급수 ∑1/n (또는 ∑1/k)이 발산함에 대한 증명이 궁금한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 문제 무한급수 ∑1/n, 즉 1/1+1/2+1/3+1/4+.....은 무한대로 발산함을 보여라. 풀이 1) 무한급수의 개념 및 성질 증명에 앞서 무한급수의 개념과 성질에 대해 간략히 살펴봅시다. 무한급수란 수열의 일반항을 한없이 더해나가는 것으로, 부분합의 극한값으로 정의됩니다. 즉, 무한급수의 값을 구하기 위해서는 부분합(Sn)의 값을 먼저 알아야 하..

고등수학 2021. 2. 28. 09:29

코사인 제 2법칙 문제 - 수열에의 응용 이 포스팅은 코사인 제 2법칙이 수열에 응용된 문제를 소개하는 글 입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 코사인 제 2법칙 문제 형태를 파악하고 싶은 학생 2. 코사인 제 2법칙이 수열에 어떻게 접목되는 지 알고싶은 학생 3. 도형에 대한 자신이 없는 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 문제 삼각형 ABC의 세 변이 공차가 4인 등차수열을 이루고, 세 내각 중 최대 내각의 크기가 120˚일 때 삼각형 세 변의 길이의 합을 구하라. 풀이 1) 코사인 제 2법칙(제 2 코사인 법칙) 코사인 제 2법칙이란, 모든 삼각형 ABC에서 성립하는 다음 식입니다. 또는, 위 식에서 a,b,c는 각각 ∠A,∠B,∠C의 마주보는 변(대변)입니다. ..

고등수학 2021. 2. 28. 09:25

산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 - 증명 들어가며 산술, 기하, 조화 평균은 절대부등식의 대표적인 예로, 수1 이전 과정뿐만아니라 고2, 고3 수리 영역에서도 단골로 출제되는 소재입니다. (절대부등식이란 특정 제한 변역에서 항상 만족하는 부등식의 형태로, 일반적으로 해를 찾는게 목적인 일반 부등식과 비교되는 개념입니다. 절대부등식은 그 특징적인 형태를 익혀놔야 하기 때문에 약간의 암기력과 센스가 필요합니다.) 본 포스팅에서는 산술, 기하, 조화 평균의 관계가 왜 다음과 같이 주어지는지 그 증명에 관해 간단히 다루겠습니다. 「산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균」 산술 평균, 기하평균, 조화 평균 개념 두 수 a, b의 산술 평균(arithmetic mean), 기하 평균(geometric mean), 조..

고등수학 2021. 2. 27. 17:02

(집합) 부분 집합의 개수 공식 유도 고등학교 1학년 수학의 첫 단원인 집합에는 부분집합의 개수에 관한 내용이 나옵니다. 원소가 n개인 집합의 부분집합의 총 개수는 2ⁿ개로 주어지는데요. 비록 간단한 공식이지만 어떻게해서 이와같은 공식이 얻어지는 지 궁금해할 학생이 있을 것 같아서 정리해보겠습니다. i) 부분집합과 진부분집합 부분집합이란, 집합의 포함관계가 A⊂B일 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라 합니다. 즉 A의 모든 원소가 B에도 포함될 때 부분집합의 관계가 성립합니다. 이 때 B 자기 자신과 공집합 역시 집합 B의 부분집합의 범위에 포함되는데요. 진부분집합(眞部分集合)이란 부분집합은 부분집합이되 자기 자신이 아닌 부분집합을 이르는 용어입니다. 즉 진짜(眞) 부분집합으로 이해하시면 됩니다. 예를..

고등수학 2021. 2. 27. 16:59