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(행렬 특이한 증명) A³=O 이면 A²=O 이다.
이 포스팅은 행렬의 진위판정 중 증명과정이 특이한 명제
「A³=O이면 A²=O이다(A^3=O 이면 A^2=O)」
에 관한 글 입니다.
일반적인 행렬 진위판정기법(교환법칙 이용, 반례 이용 등)과 거리가 먼 이 명제의 증명은 행렬의 여러 개념을 어떻게 적용하는 지 공부해 볼 수 있는 좋은 재료입니다.
학생 때 이 증명을 해보고 많은 도움이 된 경험이 있기에 이렇게 소개하고자 합니다.
이 글이 필요한 학생은
1. 행렬의 진위판정 문제를 잘 못 푸는 학생
2. 행렬 관련 증명이 힘겨운 학생
3. 명제 「A³=O이면 A²=O이다」 자체의 증명에 관심이 있는 학생
입니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.
그럼 포스팅 시작합니다.
문제
2차 정사각행렬 A에 대하여 다음 명제
「A³ = O 이면 A² = O 이다. (A^3 = O 이면 A^2 = O)」
의 진위를 판명하시오. (단 O는 영행렬
증명
* A의 역행렬은 존재하지 않음.
이 명제의 증명은 A의 역행렬의 존재 여부를 따지는 데에서부터 출발합니다.
결론부터 말하면, A의 역행렬은 존재하지 않습니다.
왜 그런 지 살펴봅시다.
역행렬의 존재 유무를 따질 때 유용한 방법으로 귀류법이라는 게 있습니다.
귀류법은 명제의 결론을 부정하여 논리를 전개해나갔을 때 가정에 모순이 생기면 원래 명제가 참임을 증명하는 증명의 한 방법입니다.
(*명제 「p이면 q이다.」가 참이면 대우명제 「~q이면 ~p 이다.」도 항상 참입니다. 귀류법에서는 대우명제가 참임을 증명하여 원래 명제도 참임을 간접적으로 밝히는 방법을 사용합니다. 즉, "~q : 결론을 부정" 하여서 "~p : 가정의 모순"을 찾아낸다면 이는 원래 명제의 대우명제가 참임을 밝힌 것에 다름아닙니다. 대우가 참이면 원명제도 참이겠죠.)
각설. 위 명제(A³=O이면 A의 역행렬은 존재하지 않음)의 결론을 부정해봅시다. 즉, A의 역행렬이 존재한다고 가정하는 것입니다.
그러면 존재한다고 가정한 이 A의 역행렬을 A³=O의 양변에 곱할 수 있습니다.
이 작업을 두 번 더 반복합니다. (양변에 A의 역행렬을 두번 더 곱합니다.)
A의 역행렬이 존재한다면, 「단위행렬 = 영행렬(?????)」 이라는 모순이 생겨버리는군요.
이 모순은 다름아닌 A의 역행렬 존재에 기인한 결과입니다.
따라서 A³=O 이면 A의 역행렬은 존재하지 않습니다.
(일반적으로 Aⁿ=O 이면 A의 역행렬은 존재하지 않습니다. 같은 방법으로 증명할 수 있겠죠.)
* ad-bc=0
A의 역행렬이 존재하지 않기 때문에
성분 aij = a, b, c, d ( i, j=1, 2)를 갖는 2차 정사각행렬 A에 대하여 행렬식 ad-bc=0입니다.
* 케일리 헤밀턴 정리
이제 위에서 이끌어 낸 식(ad-bc=0)을 케일리-헤밀턴 정리에 적용해봅시다.
케일리-헤밀턴 정리는 모든 2차정사각형에 대해 성립하는 일반적인 식입니다. (역행렬의 존재유무에 관계없음)
위 식의 양 변에 A를 곱해 A³을 만듭니다. (가정인 A³ = O을 이용하기 위해.)
위 식이 성립하기 위해서는 우변에서 행렬 A²이 영행렬이거나 실수 a+d가 0 이 될 수밖에 없습니다. (행렬의 실수배에서 kA = O 이 되려면 앞에 곱해진 실수 k가 0이거나 행렬 A가 O가 될 수밖에 없음은 자명합니다.)
i) A² = O 인 경우
이 경우는 자동적으로 증명이 완성됩니다.
가정 (A³=O) 에서 출발해서 결론(A²=O)을 이끌어 냈기 때문에 더 나아가지 않아도 됩니다.
ii) a+d = 0 인 경우
이 경우는 원래의 케일리-헤밀턴 정리 식으로 돌아갑니다.
「A² - (a+d)A + (ad-bc)E =O」
에서 a+d = 0 이고, ad-bc는 아까 0임을 증명했으므로(A의 역행렬 존재x)
이 두 실수를 식에 대입하면 아래와 같이 A²=O 임을 이끌어낼 수 있습니다.
두 경우 모두 결론은 A² = O 입니다.
따라서, 명제 A³ = O 이면 A² = O 은 참입니다.
논리 적용 과정을 정리하면 다음과 같습니다.
//증명 완료
이번 포스팅에서는 행렬의 진위판정 중 특이한 명제 「A³=O이면 A²=O이다.」 가 참임을 증명해보았습니다.
역행렬의 존재 여부(귀류법), 케일리-헤밀턴의 정리를 적용했으며,
특히 결론을 이끌어내는 과정에서 두 가지 경우를 나눠서 살펴보았습니다.
서로 다른 두 경우가 동일한 결론에 이르는 데에 사용한 위 논증은 사실 생소할 수 있습니다.
그러나 이런 식으로도 접근할 수 있다는 걸 보여드리고 싶어 굳이 문제 하나를 소개한 것입니다.
제 글이 많은 학생에게 도움이 됐으면 합니다.
