무한급수 ∑1/n 의 발산 증명

무한급수 ∑1/n 의 발산 증명 (∑1/k 발산)

 

이 포스팅은 무한급수 ∑1/n (sigma 1/n )이 발산함을 증명하는 글 입니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 무한급수와 무한수열의 관계 정립이 잘 안 된 학생

2. 무한급수 ∑1/n (또는 ∑1/k)이 발산함에 대한 증명이 궁금한 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

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문제

무한급수 ∑1/n, 즉 1/1+1/2+1/3+1/4+.....은 무한대로 발산함을 보여라.

 

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풀이

1) 무한급수의 개념 및 성질

증명에 앞서 무한급수의 개념과 성질에 대해 간략히 살펴봅시다.

무한급수란 수열의 일반항을 한없이 더해나가는 것으로, 부분합의 극한값으로 정의됩니다.

 

즉, 무한급수의 값을 구하기 위해서는 부분합(Sn)의 값을 먼저 알아야 하고,

Sn을 알기 위해서는 일반항 an이 어떻게 생겼는 지를 파악해야하는 게 순서입니다.

 

 

 

무한급수의 중요한 성질로는,

Sn이 수렴하면 일반항 an은 반드시 0으로 수렴한다 는 성질이 있습니다.

 

이 명제가 앞으로 우리가 살펴 볼 ∑1/n 의 발산과 관련된 중요한 명제입니다.

위 명제의 증명은 간단합니다.

 

 

위 명제는 어느 수열에서나 성립하는 참인 명제입니다.

명제가 참이면 대우명제도 참이겠죠.

 

 

그러나 위 명제의 역은 거짓 입니다.

역명제가 거짓이라는 것의 반례로 일반항 an=1/n을 들 수 있습니다.

(일반항 1/n 자체는 n이 무한대로갈 때 0으로 수렴하나, 급수는 발산합니다.)

이제부터 일반항이 1/n인 수열의 무한급수는 양의 무한대로 발산함을 증명하겠습니다.

 

 

 

ii) ∑1/n ( sigma 1/n, ∑1/k, sigma 1/k) 이 발산함을 증명

우리가 증명해야 할 대상을 한 번 적어봅시다.

 

이제부터 자연수의 역수를 한없이 더하면 그 값은 무한대로 발산한다는 것을 증명할텐데요.

일반적으로 수렴 증명보다 발산 증명이 더 어렵습니다.

어떤 수열(혹은 급수)의 수렴이나 발산을 증명하는 방법으로는 여러가지가 있습니다.

우리는 그 중 비교판정법(Comparison Test) 이라는 기법을 쓰겠습니다.

 

아이디어는 이렇습니다.

「위 급수가 발산하는 다른 급수(비교대상)보다 값이 크면, 위 급수는 발산한다」

입니다.

 

급수의 각 항을 1/2의 거듭제곱의 형태와 비교해보겠습니다.

양수인 분수에서 분모가 커지면 전체 값은 더 작아지므로

아래와 같은 부등식을 세울 수 있습니다.

 

위 사실을 가지고 원래 무한급수의 수렴 혹은 발산 여부를 비교판정해보면,

따라서 ∑1/n 은 발산하는 수열인 ∑(1/2) 보다 항상 크기 때문에 양의 무한대로 발산합니다.

증명완료//

 

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이번 포스팅에서는 무한급수 ∑1/n의 발산에 대한 증명을 해보았습니다.

 

수열 혹은 급수의 수렴/발산에 관한 여러 증명법 가운데 하나인

비교판정법에 대해 알아봤고 이를 증명에 이용했습니다.

비교판정법은 대학교과정으로서 비록 고교수학 범위는 넘어서나, 아이디어를 알아놓으면

다른 부등식 관련 증명에서 유용하게 쓰일 수 있을것같아 이렇게 소개했습니다.

 

이 증명은, 무한급수와 무한수열의 중요한 관계인

Sn이 수렵하면 일반항 an은 반드시 0으로 수렴한다

는 명제의 역명제가 거짓이라는 반례로 자주 등장합니다.

 

이 개념은 수열 관련 참/거짓 판정문제에서 단골로 등장하는 부분이라 수능을 준비하는 학생이라면 반드시 알고 넘어가야 합니다.

 

증명의 결과도 중요하지만 증명방법 및 과정에서도 배울점이 많기에 반드시 직접 증명을 해보시기 바랍니다.