산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 - 증명

산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 - 증명

 

들어가며

산술, 기하, 조화 평균은 절대부등식의 대표적인 예로, 수1 이전 과정뿐만아니라 고2, 고3 수리 영역에서도 단골로 출제되는 소재입니다. (절대부등식이란 특정 제한 변역에서 항상 만족하는 부등식의 형태로, 일반적으로 해를 찾는게 목적인 일반 부등식과 비교되는 개념입니다. 절대부등식은 그 특징적인 형태를 익혀놔야 하기 때문에 약간의 암기력과 센스가 필요합니다.) 본 포스팅에서는 산술, 기하, 조화 평균의 관계가 왜 다음과 같이 주어지는지 그 증명에 관해 간단히 다루겠습니다.

 

「산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균」

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산술 평균, 기하평균, 조화 평균 개념

두 수 a, b의 산술 평균(arithmetic mean), 기하 평균(geometric mean), 조화 평균(harmonic mean)은 각각 다음과 같이 정의됩니다.

 

한편, 임의의 두 양수 a, b에 대하여 이 세 값의 크기는 아래와 같이 주어집니다.

 

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공식 증명

i) 산술평균, 기하평균

먼저 위 절대부등식의 첫번째 부등호, 즉 산술평균과 기하평균의 관계에 대해 증명해보도록 하겠습니다. 부등식 증명은 비교 대상인 두 수의 차가 0보다 큰지 아닌지로 증명하는 게 가장 일반적이므로 그 아이디어를 이용하겠습니다.

 

 

첫번째 등호에선 통분을 해줬고, 두번째 등호에선 두 양수 a와 b를 각각 √a², √b² 으로 변형해줬습니다. 그 결과 세번째 등호처럼 분자를 (√a² - √b²)의 제곱 형태로 정리할 수 있었습니다. 그런데 우리는 다음 사실을 알고 있으므로

 

「임의의 실수의 제곱은 0보다 크거나 같다.」

 

이를 그대로 위 수식에 적용하면,

 

 

 

를 얻습니다. 특히 0보다 "크거나 같다"에서 "같다"에 해당하는 등호는 오직 준식이 0이 될 때에만 성립하는데, 그 때는 바로 √a와 √b가 같을 때, 즉 a=b일 때입니다. 따라서,

 

가 됩니다. //산술, 기하 증명 완료.

 

ii) 기하평균, 조화평균

다음으로 기하평균과 조화평균의 대소관계를 증명해봅시다. 마찬가지로 그 둘의 차를 이용해서 증명하겠습니다.

 

 

첫번째 등호에서는 통분을, 두 번째 등호에서는 분모, 분자를 각각 √ab 로 나눠주는 연산을 했고, 세번째, 네번째, 다섯번째 등호에서는 분자에 들어 있는 항을 (√a-√b)² 꼴로 표현했습니다. 그 결과 앞서 했던 증명과 비슷한 논리를 적용해 다음 결과를 이끌어낼 수 있습니다.

 

//기하, 조화 평균 증명 완료

 

 

*첨언

산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식을 적용할 땐 다음을 주의해야 합니다.

 

a. 두 양수 a, b 에서만 적용할 것.

b. a와 b가 함수 관계일 때엔 조심할 것.

c. 등호가 성립할 때를 명확히 알고 있을 것.

 

특히 b는 산술, 기하 평균을 적용하면 수월하게 문제 해결이 가능한 경우가 있는 반면, 더 복잡해지는 경우가 있으므로 적용할 때 조심해야 합니다. 쉽게 문제 해결이 가능한 대표적인 형태는 x와 1/x처럼 어떤 양수와 그 역수 형태로 관계가 주어질 때입니다.

c의 경우, "최솟값이 발생할 때의 x값"을 구하는 문제에서 조심해야하는데요. "산술≥기하≥조화" 에서 등호가 성립할 때가 연산의 대상인 a와 b가 같을 때라는 걸 잊으면, 문제에서 요구하는 게 뭔지 파악하기 힘들 것입니다. 그 컨셉을 제대로 익혀두는 게 필요합니다.

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정리

본 포스팅에서는 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계에 대한 절대부등식을 알아보고 이를 증명했습니다. 그 과정에서 부등식 증명의 기본적인 개념, 즉 두 대상의 차가 0보다 큰지 아닌지를 비교하는 컨셉을 적용했습니다. 증명 과정에서 나오는 "등호가 성립할 때"라는 개념이 왜 나오는지, 그 의미를 제대로 알고있는 게 중요합니다.

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.