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미분가능의 정의/개념/의미/적용 이 포스팅은 미분가능의 정의/개념/의미/적용에 관한 글 입니다. 미분은 고등학교를 졸업한 학생이라면 누구나 알아야 할 기본 소양입니다. 따라서 미분의 정확한 개념 및 의미를 알고 이를 자유롭게 활용할 줄 알아야 하는데요. 여기서는 미분의 정의를 간단히 짚은 뒤, 어떤 함수가 '미분 가능'하다는 게 무엇인 지 그 개념과 의미에 대해서 심도있게 다룰 것입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 미분의 정의가 궁금한 학생 2. 미분 가능이란 식으로 어떤 의미를 지니는 지 궁금한 학생 3. 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수, 도함수, 미분가능 등의 개념이 헷갈리는 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 미분의 정의 및 미분 가능의 개념 모든 것은 변..

고등수학 2021. 2. 28. 10:45

적분이 넓이가 되는 이유 (정적분, 부정적분, 원시함수와 그래프 넓이의 관계) 이 포스팅은 함수의 원시함수(부정적분)가 왜 그래프의 넓이로 나타나는 지에 관한 글 입니다. 고등학교에서는 먼저 미분을 배운 후, 미분의 역과정인 적분이란 걸 배웁니다. 그걸 가지고 함수의 부정적분, 즉 원시함수를 구하는 문제를 기계적으로 풉니다. 그러다가 갑자기 구분구적법을 이용해 그래프의 넓이를 구하는데요. 교과과정에서는 그렇게 구한 넓이를 구간 [a, b]에서 부정적분의 함수값의 차, 즉 정적분으로 설명하고 있습니다. 그러나 여기서 한 가지 논리적 연결 고리가 빠져있죠. 바로, 합수의 그래프의 넓이가 왜 부정적분과 관계가 있느냐 하는 것입니다. 학창시절 때 이와 관련한 궁금증을 해결하기 위해 많은 자료를 찾아 헤맸던 사람..

고등수학 2021. 2. 28. 10:41

지수의 밑변환 공식, 로그의 밑변환 공식 - 개념, 유도, 적용 1. 들어가며 지수함수와 로그함수로부터 파생되는 지수 방정식, 로그방정식, 지수 부등식, 로그 부등식을 풀기 위해서는 십중팔구 밑을 같게 만들어줘야합니다. 서로 다른 지수나 로그의 밑을 같게 만들어주는 작업을 밑변환이라고 하는데요. 우리가 밑변환을 하는 이유는 서로 다른 차원(dimension)에 있는 항들을 같은 선상에서 비교하기 위해서입니다. 예를들어 우리나라 돈 1000원과 일본 돈 100앤의 가치를 비교하기 위해선 환율을 적용하여 기축통화인 미국 달러로 바꿔서 비교해야 합니다. 또한 평균이 60점, 표준편차 10점인 정규분포를 따르는 집단에서 75점을 받은 학생과 평균이 40점, 표준편차 20점인 정규분포를 따르는 집단에서 70점을 ..

고등수학 2021. 2. 28. 10:08

거듭제곱근 개념 정리(a의 n제곱근, n제곱근 a) 1. 도입 거듭제곱근에 관한 개념은 중학교때 처음 다루기 시작하여 고등학교 수학1 지수 단원에서 심화 개념으로 등장합니다. 그런데 수능에서는 상대적으로 거듭제곱근보다는 지수법칙을 강조하여 이 부분을 잘 다루지 않는게 사실입니다. 내용이 워낙 기본적이고 다른 데에서도 출제해야할 내용이 많기 때문입니다. 그러다보니 학생들도 거듭제곱근의 개념을 소홀히 하고, 제대로 알고 넘어가지 않는 경향이 있는데요. 이번 2012년 6월 모의평가에서 거듭제곱근의 개념에 관한 문제가 무한등비급수와 맞물려 비중있게 출제된 바가 있어, 향후 수능에도 이 부분이 부각되지 않을까하여 미리 정리해보고자 합니다. 2. 개념 거듭제곱근, 즉 어떤 실수 a의 n제곱근이란, n제곱을 하여 ..

고등수학 2021. 2. 28. 10:06

기수법 개요 (n진법의 이해) 1. 기수법 소개 기수법은 중학교때 처음 등장하는 개념으로, 주어진 수를 몇 개의 정수를 써서 나타낼 것인가에 관한 법칙입니다. 우리가 평소에 쓰는 기수법은 10진법으로, 이는 10개의 정수(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; 0부터 시작하는 것에 주의)를 써서 모든 수를 표현하되, 각 자리의 숫자의 크기가 10의 거듭제곱의 꼴이 되게끔 약속한 것입니다. 10진법에 관한 몇 가지 예를 통해 이를 이해해보겠습니다. 위에서 보다시피, 10진법에서의 각 자리의 수는 그 크기가 10의 거듭제곱이라는 의미를 지닙니다. 즉, 일의 자리의 크기는 10^0=1이고, 십의 자리, 백의 자리의 크기는 각각 10^1=10, 10^2=100 ... 이 됩니다. 한편, 소수점 ..

고등수학 2021. 2. 28. 10:03

(수열) 기본 점화식 5번 유형 - 알파값의 유도 (a=q/(p-1)) 1. 점화식 소개 점화식은 수열을 귀납적으로 정의하는 방법으로서, 다음항(a_n+1)과 이전항(a_n), 나아가 그 다음항(a_n+2)들간의 관계를 통해 수열을 함축적으로 표현하는 게 핵심 아이디어입니다. 또한 점화식은 단순나열식으로 수열을 정의할 때 발생할 수 있는 모호성을 없앨 수 있기 때문에 좀 더 선호되는 특징이 있습니다. 고등학교 수학1에서는 기본적인 몇가지 점화식을 소개하고 이를 이용해 일반항을 구하는 방법론을 소개하고 있으며, 수능에서는 점화식 제반 지식을 이용해 복잡한 점화식에 응용하는 문제를 출제합니다. 교과서에 소개되는 기본 점화식은 크게 여섯가지로 나눌 수 있습니다. 여기서는 그것들을 소개하고 특히 다섯번 째 점화..

고등수학 2021. 2. 28. 10:01

(수열)군수열 개요 1. 군수열 소개 군수열은 고등학교 수학1의 여러가지 수열이라는 단원에 잠깐 소개되는 내용으로, 수열에 관한 전반적인 이해와 기본 지식이 없으면 다루기가 까다로운 파트입니다. 즉, 한마디로 군수열은 수열의 응용의 끝이라고 할 수 있습니다. 그러나 군수열이라는 문제를 푸는 일반적인 해법은 없습니다. 교과서나 참고서에서도 특정 군수열 문제를 풀이하는 수준에서 그칠뿐 이를 다루는 원리나 방법론은 부재하거나 중구난방인 경우가 허다한데요. 따라서 이번 글에서는 군수열에 관한 접근법을 나름대로 정리해보고, 이를 기준으로 문제에 적용해보겠습니다. 제 글이 어떤 표준이나 지침이 될 수는 없겠습니다만, 하나의 기준으로 삼고 문제를 바라보는 가이드라인 수준의 역할은 할 수 있으리라 봅니다. 하지만 군수..

고등수학 2021. 2. 28. 09:55

(행렬) 역행렬의 유일성과 그 응용 1. 역행렬의 유일성 고등학교 수학1에서는 역행렬을 다음과 같이 정의합니다. 「n차 정사각행렬 A와 E에 대하여 AX=XA=E인 X가 존재하면 X를 A의 역행렬이라 한다.」 이 때 X=A^{-1}로 나타내며, 특히 n=2인 경우, 즉 2차정사각행렬의 경우 행렬 A와 역행렬 A^{-1}은 아래의 관계가 있습니다. 그런데 역행렬의 유일성에 관한 내용은 좀처럼 다루지 않거나 간략히 설명하고 넘어가는데요. 이와 관련한 개념과 응용이 중요하게 적용될 때가 있습니다. 결론부터 말하면, n차 정사각행렬 A의 역행렬이 존재하면 그 역행렬은 유일합니다. 즉, 「(n차 정사각행렬에 대해) AX=E이면 XA=E이다.」 가 성립하는 것입니다. 왜냐하면 AX=E가 되는 X는 A의 역행렬로 오..

고등수학 2021. 2. 28. 09:51