코사인 제 2법칙 문제 (수열에의 응용)

코사인 제 2법칙 문제

- 수열에의 응용

 

이 포스팅은 코사인 제 2법칙이 수열에 응용된 문제를 소개하는 글 입니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 코사인 제 2법칙 문제 형태를 파악하고 싶은 학생 

2. 코사인 제 2법칙이 수열에 어떻게 접목되는 지 알고싶은 학생

3. 도형에 대한 자신이 없는 학생

 

입니다.

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

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문제

 

 

삼각형 ABC의 세 변이 공차가 4인 등차수열을 이루고, 세 내각 중 최대 내각의 크기가 120˚일 때 삼각형 세 변의 길이의 합을 구하라.

 

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풀이

 

1) 코사인 제 2법칙(제 2 코사인 법칙)

코사인 제 2법칙이란, 모든 삼각형 ABC에서 성립하는 다음 식입니다.

 

또는,

  

위 식에서 a,b,c는 각각 ∠A,∠B,∠C의 마주보는 변(대변)입니다.
코사인 제 2법칙의 유도과정에 대해 자세히 알고싶은 학생은 아래 링크를 참조하시기 바랍니다.

 

color-change.tistory.com/2   

코사인 제 2법칙 증명

 

코사인 제 2법칙은 주로 두 가지 경우에 많이 쓰입니다.

 i) 세 변이 주어지고 나머지 한 각을 구할 때

 ii) 두 변과 그 끼인각이 주어지고 나머지 한 변을 구할 때.

(이 문제에서는 i)이 이에 해당됩니다.)

 

2) 문제풀이

문제 풀이에 앞서 두 가지를 먼저 짚고 넘어가야 합니다.

 

첫째, 삼각형의 내각의 크기의 순서는 대변의 크기 순서와 일치 합니다.

즉 각의 크기가 크면 클 수록 대변의 길이도 깁니다. 아래 그림을 보면

 

 

∠C < ∠A < ∠B 의 순서를 따르는데, 각각의 대변 역시 같은 순서를 따라

  c  <   a  <   b  가 되는 걸 확인할 수 있습니다.

  

둘째, 세 수가 등차수열을 이루면 다음과같이

등차중항을 기준으로 공차를 더하거나 뺀 형태로 그것들을 표현할 수 있습니다.

a-d,   a,   a+d

 

이를 바탕으로 문제의 상황을 그림으로 표현해보겠습니다.

 

 

  

최대내각 (120˚)의 대변을 가장 큰 수 a+4로 표현했음에 주목하시기 바랍니다.

따라서, 위 그림에서 코사인 제 2법칙을 적용하면 아래와 같이 됩니다.

 

cos120˚를 구하는 방법은 i) 코사인 함수 그래프를 이용하거나 ii) cos(nπ/2+θ)를 이용하는 방법 등 여러가지가 있는데요.

이건 차후 소개하기로 하고 결론부터 말하면

입니다. 이 값을 위 식에 대입해서 풀면 a=10 을 얻습니다.

따라서 세 변의 길이는 6,  10,  14 가 되고, 이들의 합은 30입니다.

 ∴답은 30

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이번 포스팅에서는 코사인 제 2법칙이 수열에 응용된 예와 그 풀이에 대해 알아보았습니다.

 

 

특히 풀이 과정에서 

삼각형의 세 내각의 크기는 대변의 크기를 따른다는 사실과

등차수열을 이루는 세 수를 표현하는 방법에 대해서 소개했습니다.

 

코사인 제 2법칙은 도형에서 응용범위가 넓어 효용성이 매우 큰 식입니다.

공식을 암기하고 있음은 물론이고,

어느 상황에서 이 공식이 쓰이는 지를 알고있어야 합니다.