(수열) 기본 점화식 5번 유형 - 알파값의 유도 (a=q/(p-1))

(수열) 기본 점화식 5번 유형 - 알파값의 유도 (a=q/(p-1))

 

1. 점화식 소개

점화식은 수열을 귀납적으로 정의하는 방법으로서, 다음항(a_n+1)과 이전항(a_n), 나아가 그 다음항(a_n+2)들간의 관계를 통해 수열을 함축적으로 표현하는 게 핵심 아이디어입니다. 또한 점화식은 단순나열식으로 수열을 정의할 때 발생할 수 있는 모호성을 없앨 수 있기 때문에 좀 더 선호되는 특징이 있습니다. 고등학교 수학1에서는 기본적인 몇가지 점화식을 소개하고 이를 이용해 일반항을 구하는 방법론을 소개하고 있으며, 수능에서는 점화식 제반 지식을 이용해 복잡한 점화식에 응용하는 문제를 출제합니다.

 

교과서에 소개되는 기본 점화식은 크게 여섯가지로 나눌 수 있습니다. 여기서는 그것들을 소개하고 특히 다섯번 째 점화식-일차식 형태의 점화식-에 주목해서 이를 살펴보겠습니다.

 

- 기본 점화식 유형 정리 -

 

위에서 1번, 2번, 3번은 각각 등차수열, 등비수열, 계차수열을 의미합니다. 점화식이 위와 같을 때 일반항은 등차수열의 일반항, 등비수열의 일반항, 계차수열의 일반항 공식을 각각 적용해주면 됩니다. 4번 유형을 가리키는 특정 명명법은 없으나 저는 이를 "계비수열"이라고 부르곤합니다. (다음항과 이전항의 비가 일정한 함수(f(n))를 이루기 때문입니다.) 4번유형을 풀기 위해서는 3번 계차수열의 일반항을 구하듯이 n에 1, 2, 3,...을 각각 대입하여 양변을 곱해주면 됩니다.

 

다섯번째 유형은 그 특징상 일차식 형태의 점화식이라고 합니다. (일차식의 일반형 y=ax+b 형태) 이를 풀기 위해서는 특정 알파(α)값을 도입해서 식을 적절히 정리해주는 게 필요합니다. 여섯번 째 유형은 항이 세 개(a_n+2, a_n+1, a_n)가 포함된 유형인데, 그들의 계수의 합 p+q+r이 대개 0이 되도록 주어집니다. 이 때에는 가운데 항을 적절히 쪼개서 a_n+2와 a_n으로 양분해줘서 풀면 됩니다.

 

말했다시피 여기서는 모든 점화식의 풀이법을 다루지 않고, 헷갈리기 쉬운 다섯번째 유형만 다뤄보겠습니다. 

 

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2. 점화식 5번 유형에서의 알파값 유도 (a=q/(p-1))

일차식 형태의 점화식은 특정 알파값을 양변에 더해줌으로써 우리가 알고 있는 등비수열의 꼴로 점화식을 정리해주는 작업이 필요합니다. 이 때 등장하는 알파값은 아래와 같이 주어집니다.

 

알파값을 위와 같이 두면 식을 등비수열의 꼴(공비=p)로 정리할 수 있게 됩니다. 이제부터 그 이유에 대해 간단하게 알아보겠습니다.

 

- 유도 과정

점화식을 풀 때에는 주어진 복잡한 식을 우리가 알고있는 식으로 간단하게 변형하는 컨셉이 필요합니다. 5번 점화식의 경우도 이런 경우인데요. 이를 풀기 위해 양변에 적절한 수를 더하되, 그 수를 알파(α)로 둡시다.

 

그런 다음 아래와같이 우변을 p로 묶어서 우리가 원하는 등비수열의 꼴로 식을 변형합니다.

 

위 식이 등비수열의 꼴이 되기 위해선 좌변에서 더해지고 있는 상수 알파(α)와 우변의 괄호안에서 더해지고 있는 상수 ((q+α)/p)가 동일해야합니다. 즉,

 

따라서 위 식을 정리하면 알파값에 관한 다음 결과를 얻습니다.

 

소개한 유도과정과 그 결과는, 점화식이 일차식의 형태로 주어진 경우 알파값을 위와같이 두면 식을 등비수열의 꼴로 변형하여 풀 수 있다는 걸 의미합니다. 이제 간단한 예제를 통해 이에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

*첨언

다른 교재에서는 알파값을 위와같이 정의하지 않고 α=q/(1-p) 로 정의하여 점화식의 양 변에 (더하는 게 아니라) 빼는 경우가 있습니다. 즉 분모의 뺄셈 순서를 바꾸는 동시에 연산을 덧셈이 아닌 뺄셈을 통해 식을 정리하는데요. 그렇게 해도 결과는 똑같이 나오므로 관계없습니다. 다만, 사견입니다만, 우리가 사고하기에 양 변에 (우리가 도입한) 새로운 수를 '더하는' 개념이 더 이해하기 쉽고 실수가 없을 것 같아 위와같이 정리했습니다. 중요한 건 특정 수를 더하건 빼건, 그 결과가 등비수열의 꼴로 전환이 가능하기만 하면 된다는 것입니다.

 

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3. 문제에의 적용

(예제1) 수열이 아래와 같이 주어질 때 이 수열의 일반항을 구하시오.

 

(풀이)

먼저 다음과 같이 알파값을 정의하고, 이를 점화식 양 변에 더합니다.

 

그러면 식을 아래와같이 정리할 수 있습니다.

 

좌변과 우변의 괄호속의 식이 동일한 형태를 띄는 걸 확인할 수 있는데요. 괄호속의 식(a_n-1)을 임의로 b_n으로 두면 좌변의 식이 자동적으로 b_(n+1)이 됨을 알 수 있습니다. 

 

(윗 식의 n 대신 n+1을 대입하면 아래식이 얻어짐을 확인해보세요.) 즉, 우리가 정의한 b_n이라는 수열은 a_n에서 1을 뺀 수열인데, 이는 형태상 a_(n+1)에서 1을 뺀 수열을 자동적으로 b_(n+1)로 연관시킬 수 있다는 걸 의미합니다. 복잡한 형태의 식을 한꺼번에 묶어서 생각하기 위해 이렇게 새로운 수열 b_n을 도입하는 것입니다.

이제 원래의 문제로 돌아와서,

 

공교롭게도 b_n은 우리가 익히 알고있는(?) 등비수열의 점화식 형태를 띄는군요. 위 식을 통해 b_n의 공비가 3이라는 걸 알았으므로 첫째항 b_1을 구해 b_n을 구해봅시다. 

 

따라서 우리가 원하는 원래의 일반항 a_n을 앞서 정의한 a_n과 b_n의 관계식을 이용하여 환원시킬 수 있습니다. (아래 식)

 

풀이 완료//

 

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정리

지금까지 점화식의 일반적인 형태에 대해 간단히 정리하고, 특히 다섯번째 유형에 대해 자세히 알아봤습니다.

일차식의 꼴로 주어지는 다섯번 유형의 점화식에서 알파값을 공식화해서 외워두는 학생이 많은데, 어떻게해서 그 값이 나오게됐는지 궁금해할 학생들을 위해 이 글을 쓰게됐습니다.

사실 별 내용 없지만, 유도과정에서 점화식의 핵심 아이디어-알고있는 간단한 형태로 변환-를 소개할 수 있었습니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.