적분이 넓이가 되는 이유(정적분, 부정적분, 원시함수와 그래프 넓이의 관계)

적분이 넓이가 되는 이유 (정적분, 부정적분, 원시함수와 그래프 넓이의 관계)

 

 

이 포스팅은 함수의 원시함수(부정적분)가 왜 그래프의 넓이로 나타나는 지에 관한 글 입니다.

 

고등학교에서는 먼저 미분을 배운 후, 미분의 역과정인 적분이란 걸 배웁니다.

그걸 가지고 함수의 부정적분, 즉 원시함수를 구하는 문제를 기계적으로 풉니다.

그러다가 갑자기 구분구적법을 이용해 그래프의 넓이를 구하는데요.

교과과정에서는 그렇게 구한 넓이를 구간 [a, b]에서 부정적분의 함수값의 차, 즉 정적분으로 설명하고 있습니다.

 

그러나 여기서 한 가지 논리적 연결 고리가 빠져있죠.

바로, 합수의 그래프의 넓이가 왜 부정적분과 관계가 있느냐 하는 것입니다.

학창시절 때 이와 관련한 궁금증을 해결하기 위해 많은 자료를 찾아 헤맸던 사람으로서, 제가 직접 이를 자료화하면 어떨까 하여 이렇게 포스팅 하게 됐습니다.

 

 

 이 글이 필요한 학생은

 

1. 적분이 왜 그래프의 넓이가 되는 지 궁금한 학생

 

2. 원시함수와 그래프 넓이의 관계가 궁금한 학생

 

 

3. 정적분(혹은 부정적분)이 왜 그래프의 넓이가 되는 지 그 증명이 궁금한 학생

 

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

 

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문제: 적분과 넓이의 관계

구간 [a, b]에서 적분 가능한 함수 y=f(x)의 넓이가 F(b)-F(a)로 주어짐을 보이라.

단, F(x)는 f(x)의 원시함수. 즉, F(x)와 f(x)의 사이에는 다음 관계가 성립한다.

 

 

 

 

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증명

그래프 아래부분의 넓이가 왜 부정적분의 차로 주어지느냐에 대한 증명은

함수와 원시함수의 관계로부터 출발합니다.

즉, 함수를 적분하면 원시함수가 되고, 원시함수를 미분하면 다시 그 함수로 환원된다는 미적분의 가장 기본이 되는 원리를 적용하는 것입니다.

 

아래 그림처럼, x=0 부터 특정 지점 x=x까지 함수 y=f(x) 그래프 아래 부분의 넓이를 S(x)라고 둡시다.

이 때 S(x)는 x가 변함에 따라 그 넓이 값도 변하는 함수 관계에 있습니다.

(따라서 이를 단순히 S로 표기하지 않고 x에 관한 함수인 S(x)로 표기하는 것입니다.)

 

이제 넓이 지점을 x = x 로부터 증분 Δx만큼 더 간 지점인 x+Δx 까지 옮겨봅시다.

이 때 시작점은 원점으로 고정입니다. (S(x)를 정의할 때 x=0에서 출발한다고 약속함)

그러면 아래처럼 S(x+Δx)를 생각할 수 있습니다.

 

다음으로, S(x+Δx)와 S(x)의 차를 생각해봅시다. (아래 노란색 칠한 부분)

여기서 한 가지 짚고 넘어갈 것은, 편의상 함수 y=f(x)를 증가함수로 설정했으나 이를 감소함수(혹은 증감이 동시에 있는 함수)로 설정해도 상관 없다는 점입니다.

어쨌든 우리가 필요한 것은, x로부터 증분 Δx만큼 움직였을 때 함수가 끊이지 않고 연속되어있어서 넓이를 생각할 수 있다는 사실입니다.

 

 

 

 

 

연속 함수 f(x)는 구간 [x, x+Δx]에서 항상 최댓값과 최솟값을 가집니다. (최대, 최소의 정리)

이를 각각 M과 m이라 둡시다.

그러면 아래 그림처럼 넓이가 각각 MΔx, mΔx인 두 직사각형을 생각할 수 있어서,

위에서 구한 그래프의 넓이 S(x+Δx)-S(x)가 항상 이 값들 사이에 있게 됩니다.

(연속적으로 이어진 함수의 그래프의 넓이는 그 함수의 최대, 최소로 만든 두 직사각형의 넓이 사이에 올 수밖에 없음은 자명합니다.)

 

 

편의상 함수를 증가함수로 설정했기에 그림이 m=f(x), M=f(x+Δx) 로 되어버렸으나, 꼭 그렇지만은 않습니다. 다시 말하지만 중요한 건 f(x)는 연속이라는 것, 연속함수는 최대, 최소의 정리를 적용할 수 있다는 점입니다.

 

이제 위 수식의 양변을 Δx로 나눠봅시다.

증분 Δx를 한없이 작게(미분), 즉 0으로 보내는 극한을 취합니다.

 

가운데 항은 도함수의 정의에 따라 S'(x)가 되고, 양 끝 항은 f(x)가 됩니다.

(사실 최댓값, 최솟값인 M과 m은 x에 관한 함수입니다. Δx가 0으로 간다면 결국 이 두 값은 f(x)로 수렴하겠죠. 그림 참고.)

 

샌드위치 정리에 따라,

 

 

위 관계는 다름아닌 S(x)를 미분하면 f(x)가 되는, 즉 f(x)의 원시함수가 S(x)라는 걸 뜻합니다.

우리가 처음에 설정했던 넓이 함수 S(x)는 f(x)의 부정적분이 되는군요.

//증명 완료

 

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정리

 

이번 포스팅에서는

 

1. 함수의 그래프의 넓이와 적분의 관계,

2. 함수의 그래프의 넓이와 부정적분(원시함수)의 관계,

3. 함수의 그래프의 넓이가 왜 부정적분의 차-구간에서의 정적분-로 정의 되는 지

 

에 대한 증명을 알아보았습니다.

 

미적분의 모든 내용은 미분의 정의로부터 시작됩니다.

심지어 부정적분이라는 개념도 미분의 정의로부터 나왔기 때문에, 미분과 도함수의 개념을 정확히 알고 자유롭게 적용시킬 수 있어야 합니다.

 

제 글이 많은 학생에게 도움이 됐으면 합니다.