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기수법 개요 (n진법의 이해) 1. 기수법 소개 기수법은 중학교때 처음 등장하는 개념으로, 주어진 수를 몇 개의 정수를 써서 나타낼 것인가에 관한 법칙입니다. 우리가 평소에 쓰는 기수법은 10진법으로, 이는 10개의 정수(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; 0부터 시작하는 것에 주의)를 써서 모든 수를 표현하되, 각 자리의 숫자의 크기가 10의 거듭제곱의 꼴이 되게끔 약속한 것입니다. 10진법에 관한 몇 가지 예를 통해 이를 이해해보겠습니다. 위에서 보다시피, 10진법에서의 각 자리의 수는 그 크기가 10의 거듭제곱이라는 의미를 지닙니다. 즉, 일의 자리의 크기는 10^0=1이고, 십의 자리, 백의 자리의 크기는 각각 10^1=10, 10^2=100 ... 이 됩니다. 한편, 소수점 ..

고등수학 2021. 2. 28. 10:03

(수열) 기본 점화식 5번 유형 - 알파값의 유도 (a=q/(p-1)) 1. 점화식 소개 점화식은 수열을 귀납적으로 정의하는 방법으로서, 다음항(a_n+1)과 이전항(a_n), 나아가 그 다음항(a_n+2)들간의 관계를 통해 수열을 함축적으로 표현하는 게 핵심 아이디어입니다. 또한 점화식은 단순나열식으로 수열을 정의할 때 발생할 수 있는 모호성을 없앨 수 있기 때문에 좀 더 선호되는 특징이 있습니다. 고등학교 수학1에서는 기본적인 몇가지 점화식을 소개하고 이를 이용해 일반항을 구하는 방법론을 소개하고 있으며, 수능에서는 점화식 제반 지식을 이용해 복잡한 점화식에 응용하는 문제를 출제합니다. 교과서에 소개되는 기본 점화식은 크게 여섯가지로 나눌 수 있습니다. 여기서는 그것들을 소개하고 특히 다섯번 째 점화..

고등수학 2021. 2. 28. 10:01

(수열)군수열 개요 1. 군수열 소개 군수열은 고등학교 수학1의 여러가지 수열이라는 단원에 잠깐 소개되는 내용으로, 수열에 관한 전반적인 이해와 기본 지식이 없으면 다루기가 까다로운 파트입니다. 즉, 한마디로 군수열은 수열의 응용의 끝이라고 할 수 있습니다. 그러나 군수열이라는 문제를 푸는 일반적인 해법은 없습니다. 교과서나 참고서에서도 특정 군수열 문제를 풀이하는 수준에서 그칠뿐 이를 다루는 원리나 방법론은 부재하거나 중구난방인 경우가 허다한데요. 따라서 이번 글에서는 군수열에 관한 접근법을 나름대로 정리해보고, 이를 기준으로 문제에 적용해보겠습니다. 제 글이 어떤 표준이나 지침이 될 수는 없겠습니다만, 하나의 기준으로 삼고 문제를 바라보는 가이드라인 수준의 역할은 할 수 있으리라 봅니다. 하지만 군수..

고등수학 2021. 2. 28. 09:55

(행렬) 역행렬의 유일성과 그 응용 1. 역행렬의 유일성 고등학교 수학1에서는 역행렬을 다음과 같이 정의합니다. 「n차 정사각행렬 A와 E에 대하여 AX=XA=E인 X가 존재하면 X를 A의 역행렬이라 한다.」 이 때 X=A^{-1}로 나타내며, 특히 n=2인 경우, 즉 2차정사각행렬의 경우 행렬 A와 역행렬 A^{-1}은 아래의 관계가 있습니다. 그런데 역행렬의 유일성에 관한 내용은 좀처럼 다루지 않거나 간략히 설명하고 넘어가는데요. 이와 관련한 개념과 응용이 중요하게 적용될 때가 있습니다. 결론부터 말하면, n차 정사각행렬 A의 역행렬이 존재하면 그 역행렬은 유일합니다. 즉, 「(n차 정사각행렬에 대해) AX=E이면 XA=E이다.」 가 성립하는 것입니다. 왜냐하면 AX=E가 되는 X는 A의 역행렬로 오..

고등수학 2021. 2. 28. 09:51

자연수의 거듭 제곱의 합 (시그마 공식 유도) - ∑k, ∑k², ∑k³, ∑k⁴ 이 포스팅은 자연수의 거듭제곱의 합 공식 유도에 관한 글 입니다. 여러가지 수열에서 처음 등장하는 시그마(∑). 시그마를 잘 다루기 위해서는 관련 공식을 이해하고 적용하는 게 중요한데요. 그 중 자연수의 거듭제곱의 합에 관한 공식이 많이 쓰이기 때문에 이를 반드시 알아둬야 합니다. 이번 포스팅에서는 자연수의 n제곱의 합의 공식을 유도하고, 그 방법론을 제시하고자 합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 자연수의 거듭제곱의 합 공식이 궁금한 학생 2. 시그마(sigma)관련 공식 유도가 궁금한 학생 3. 자연수의 제곱, 세제곱, 네제곱 등의 합이 궁금한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 자연..

고등수학 2021. 2. 28. 09:47

(수열)계차수열의 직관적 이해 이 포스팅은 수열 중 특이한 계차수열의 직관적 이해에 관한 글 입니다. 계차수열은 수학1의 '여러가지 수열'파트에 등장하는 수열로, 그 적용범위가 매우 넓습니다. 이번 글에서는 계차수열 중 특이한 형태를 가지는 수열을 소개하고, 이를 직관적으로 이해하는 법을 함께 고민해보겠습니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 계차수열이 궁금한 학생 2. 계차수열에 대한 감이 부족한 학생 3. 수열을 좀 더 감각적으로 이해하고자하는 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 계차수열이란? (계차수열의 정의) 어떤 수열의 각 항의 차가 다시 일정한 수열을 이룰 때, 그 수열을 계차수열이라고 명명합니다. 원래의 수열과 계차수열간의 관계를 점화식으로 표현하면 다음과 같..

고등수학 2021. 2. 28. 09:42

부분분수의 변형 - 두 개짜리, 세 개짜리 이 포스팅은 수열에 등장하는 부분분수의 변형에 관한 글 입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 부분분수의 변형 공식이 궁금한 학생. 2. 부분분수의 변형의 쓰임이 궁금한 학생. 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 부분분수의 변형 공식 1) 두 개짜리 부분분수 1/AB 2) 세 개짜리 부분분수 1/ABC 공식 유도 및 적용 두 식에서 우변의 괄호 안을 통분해서 정리하면 쉽게 좌변을 이끌어낼 수 있습니다. 이는 눈짐작으로도 쉽게 할 수 있기에 공식 유도는 생략합니다. (부분분수의 변형 공식은 특정 식에서 출발하는 게 아니라 이처럼 다소 직관적으로 얻어낼 수 있는 식 입니다.) 두 개짜리 부분분수는 수열의 급수(시..

고등수학 2021. 2. 28. 09:33

무한급수 ∑1/n 의 발산 증명 (∑1/k 발산) 이 포스팅은 무한급수 ∑1/n (sigma 1/n )이 발산함을 증명하는 글 입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 무한급수와 무한수열의 관계 정립이 잘 안 된 학생 2. 무한급수 ∑1/n (또는 ∑1/k)이 발산함에 대한 증명이 궁금한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 문제 무한급수 ∑1/n, 즉 1/1+1/2+1/3+1/4+.....은 무한대로 발산함을 보여라. 풀이 1) 무한급수의 개념 및 성질 증명에 앞서 무한급수의 개념과 성질에 대해 간략히 살펴봅시다. 무한급수란 수열의 일반항을 한없이 더해나가는 것으로, 부분합의 극한값으로 정의됩니다. 즉, 무한급수의 값을 구하기 위해서는 부분합(Sn)의 값을 먼저 알아야 하..

고등수학 2021. 2. 28. 09:29