color-change

::벡터의 내적과 삼각형의 넓이 공식:: 삼각형의 넓이를 구하는 방법에는 여러가지가 있으나, 벡터의 내적을 이용한 아래 공식도 있습니다. 즉, 두 벡터의 크기와 내적에 관한 정보만 있으면 두 벡터에 의해 만들어지는 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 이제부터는 이에 관한 공식 유도 과정을 알아보겠습니다. 위 그림과같이 두 벡터 a, b가 각도 θ를 이루고 있고, 그로 인해 만들어지는 가상의 삼각형 AOB를 생각해봅시다. 그러면 삼각형 AOB의 넓이는 아래와 같이 주어집니다. (두 변과 그 끼인각이 주어졌을 때 삼각형의 넓이는 각 변과 끼인각의 사인값을 곱해서 2로 나누어주면 구할 수 있습니다. 관련 내용은 다음 링크에 정리되어있습니다.) https://color-change.tistory.com/4 이제..

고등수학 2021. 6. 19. 13:16

::(기하와 벡터) 회전변환 식 유도:: - 개념, 공식, 증명, 유도 이 포스팅은 기하와 벡터의 회전변환 공식을 유도하는 글 입니다. 회전변환은 고교 수학(자연계) 기하와 벡터 과목의 전반부에서 처음 소개되는 내용으로, 일차변환의 대표적인 예입니다. 회전변환은 특정 점이나 도형을 평면좌표에서 각도 θ만큼 회전시켜주는 변환으로, 응용 범위 및 적용 가능성이 비교적 큰 편입니다. 특히 이 단원은 삼각함수나 중학교 기하 쪽이 일부 들어오기 때문에 학생들이 그 유도과정을 제대로 이해하지 못하고 넘어가는 경우가 많은데요. 그런 학생들을 위해 따로 자료화해서 정리하면 도움이 될 것 같아 포스팅 합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 회전변환의 공식이 궁금한 학생. 2. 회전변환의 공식이 어떻게 해서 나왔는 지 그 ..

고등수학 2021. 6. 19. 13:14

타원의 넓이 구하기(치환적분) 이 포스팅은 타원의 넓이 유도에 관한 글 입니다. 고등학교 수학 기하와 벡터 파트에서는 타원의 정의, 장축, 단축, 초점, 접선에 대해 다루는데 타원의 넓이를 구하는 과정은 빠져있습니다. 이와 관련해 궁금한 학생들을 위하여 포스팅합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 타원의 넓이 구하는 방법이 궁금한 학생. 2. 타원의 넓이 공식이 궁금한 학생. 3. 이차곡선의 개념이 부족한 학생. 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 타원의 넓이 다음과 같은 타원의 방정식 표준형에 대하여, 타원의 넓이 S는 abπ 로 주어집니다. 증명 * 도형을 함수로 표현하기. 타원의 넓이를 구하기 위해선 타원의 '방정식'을 '함수'형태로 바꿔줘야 합..

고등수학 2021. 6. 19. 13:11

정사영의 정의/공식/고난이도 문제 이 포스팅은 정사영의 정의 및 관련 문제에 관한 글 입니다. 정사영은 기하와 벡터의 공간도형에서 다루는 중요한 단원입니다. 정사영에 관한 개념이 제대로 잡히지 않는다면, 정사영 응용문제에서 헤맬 수 있기에 이렇게 포스팅합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 공간도형에서 정사영이 궁금한 학생. 2. 정사영이 어떻게 문제에서 활용되는 지가 궁금한 학생. 3. 공간도형에 감이 없는 학생. 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 정사영의 정의 및 공식 1) 정사영의 정의 정사영이란, 특정 도형(또는 선분)에 빛을 쪼였을 때, 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자를 뜻합니다. 아래 그림에서 P'을 도형 P의 평면 o로의 정사영이라..

고등수학 2021. 6. 19. 13:09

정사면체 높이/부피 구하는 법(공식 유도) 이 포스팅은 정사면체의 높이 및 부피를 구하는 방법에 관한 글 입니다. 정사면체는 가장 기본적인 공간도형으로 문제에 자주 출제되는 메뉴입니다. 공식의 유도과정속에서 공간도형의 어떤 특징들이 활용되는 지를 학생들이 배우면 좋을 것 같아 이렇게 글을 씁니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 정사면체의 높이 구하는 과정이 궁금한 학생. 2. 정사면체의 부피 공식 유도가 궁금한 학생. 3. 공간도형에 대한 감이 부족한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 정사면체의 높이 및 부피 공식 정사면체는 모든 면이 정삼각형인 사면체(혹은 삼각뿔) 입니다. 위와같은 정사면체의 한 변의 길이를 a라고 할 때, 높이 h와 부피 ..

고등수학 2021. 6. 19. 13:05

::지수함수의 미분, 자연로그의 미분 증명:: - (e^x-1)/x, e^x, a^x, ln(x), loga(x) 이 포스팅은 지수함수의 미분(e^x-1/x, e^x), 자연로그(lnx)의 미분에 관한 글 입니다. 자연상수는 파이(pi)와 함께 거론되는 대표적인 무리수로, 자연상수의 지수함수의 극한, 미분과 적분파트에서 자주 등장합니다. 지수함수의 미분은 대학교때 배우는 미분방정식까지 확장되기 때문에 매우 중요한 부분입니다. 따라서 자연상수의 개념과 그로부터 파생되는 지수함수의 극한, 미분, 로그함수의 미분까지 전반적인 내용을 알아놓는 게 중요합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 자연상수의 정의 및 관련 극한이 궁금한 학생. 2. 지수함수의 미분이 궁금한 학생. 3. 로그함수의 미분이 궁금한 학생. 입니..

고등수학 2021. 6. 19. 13:00

::음함수의 미분 - 개념과 적용:: 1. 음함수 소개 음함수(implicit function)란, 독립변수 x와 종속변수 y를 한 변(보통 좌변)에 몰아서 정리하는 형태로, 일반적으로 함수를 y=f(x)의 꼴로 정리하는 양함수(explicit function)와 비교됩니다. 예를들어 일차함수 y=3x+2를 음함수의 형태로 바꾸면 3x-y+2=0 의 꼴로 정리할 수 있는데 흔히 전자를 표준형, 후자를 일반형이라고 부릅니다. 모든 변수를 좌변에 몰아서 쓰기 때문에 음함수를 다음과 같이 일반화시켜서 말할 수 있습니다. 위 식은 좌변 f(x, y)가 두 변수 x와 y를 포함하는 식이고, 우변은 0인 음함수입니다. 우리가 함수를 음함수로 굳이 표현하는 이유는, 어떤 함수 관계 또는 도형을 명백히(=explici..

고등수학 2021. 4. 2. 22:16

::삼각함수의 미분과 적분:: 이 포스팅은 삼각함수의 미분 및 적분(기본 공식 증명)에 관한 글 입니다. 삼각함수는 대표적인 초월함수로, 함수의 극한, 미분과 적분 파트에서 자주 등장합니다. 따라서 각 삼각함수별로 미분하는 법, 적분하는 법을 알아놓는게 좋습니다. 물론 지금부터 소개할 식들은 매우 기초적인 공식들입니다만, 정리 차원에서 증명까지 함께 소개하며 미적분 공식들을 정리해보겠습니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 삼각함수의 미분에 대해 궁금한 학생 2. 삼각함수의 적분에 대해 궁금한 학생 3. 삼각함수의 미분과 적분 공식 증명이 필요한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 삼각함수의 미분과 적분 지금부터 소개할 식은 가장 기본적인 삼각함수..

고등수학 2021. 4. 2. 22:15