(기하와 벡터) 회전변환 식 유도

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- 개념, 공식, 증명, 유도

 

이 포스팅은 기하와 벡터의 회전변환 공식을 유도하는 글 입니다.

 

 

회전변환은 고교 수학(자연계) 기하와 벡터 과목의 전반부에서 처음 소개되는 내용으로, 일차변환의 대표적인 예입니다. 회전변환은 특정 점이나 도형을 평면좌표에서 각도 θ만큼 회전시켜주는 변환으로, 응용 범위 및 적용 가능성이 비교적 큰 편입니다.

특히 이 단원은 삼각함수나 중학교 기하 쪽이 일부 들어오기 때문에 학생들이 그 유도과정을 제대로 이해하지 못하고 넘어가는 경우가 많은데요. 그런 학생들을 위해 따로 자료화해서 정리하면 도움이 될 것 같아 포스팅 합니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 회전변환의 공식이 궁금한 학생.

2. 회전변환의 공식이 어떻게 해서 나왔는 지 그 유도 과정이 궁금한 학생. 

3. 회전변환을 할 때 어떤 기하적 관계가 이용되는 지 그 내용을 상세히 알고싶은 학생.

4. 기하와 벡터의 첫 단원, 일차변환 자체가 헷갈리는 학생.

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

그럼 포스팅 시작합니다.

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회전변환 공식      

 

좌표평면의 점 P(x, y)를 각도 θ만큼 회전시켜 P'(x', y')으로 옮기는 변환 f를 회전변환이라고 합니다.

 

한편, 회전변환은 다음과 같이 주어집니다.

 

위 식에서 우변의 2x2행렬이 회전변환 f가 나타내는 변환 행렬입니다.

행렬을 각 요소에 대해 정리하면 아래와 같습니다.

 

이제부터 위 두 식이 어떻게 얻어지는지에 대해 알아보겠습니다.

 

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회전변환 공식 유도(증명)       

i) 먼저 간단한 점(Q)을 잡아 회전을 이해하기.

앞으로 수많은 기하와 도형을 다룰텐데요. 도형을 다룰 때 가장 중요한 것은 각 기하 요소간의 관계를 파악하는 것입니다. 아무리 장황한 수식을 전개한다고한들, 도형을 머릿속에서 하나의 그림으로 이해하지 못한다면 제대로 이해했다고 볼 수 없습니다.

 

각설. 회전변환의 대상이 되는 점 P의 x좌표와 같고 y좌표는 0인, x축 위의 점 Q(x, 0)를 생각해봅시다. 이제부터 Q를 기준으로 도형을 회전시키겠습니다. 아래 그림처럼 점 Q(x, 0)가 θ만큼 회전변환된 점을 Q'이라 둡시다.

 

복잡한 그림 중 Q, Q'만 강조하기 위해 나머지 도형들은 투명도를 줬습니다. 또한 변환되는 양상을 보다 명확히 이해하기 위해 두 개의 직사각형을 그림에 명시했습니다. 직사각형의 밑변은 선분 OQ로 그 길이가 x이며, OQ'도 x로 길이가 같습니다. 따라서 이로써 Q'의 좌표를 삼각비를 이용해 나타낼 수 있습니다.(아래 그림)

 

Q(x, 0)이 회전해서 Q'(xcosθ, xsinθ)가 됩니다.

 

ii) 회전된 Q'으로부터 평행이동을 통해 P'을 구하기.

회전된 Q'으로부터 점을 평행이동하여 P'을 구해봅시다. 그림상 P'의 x좌표는 Q'의 x좌표보다 작고 y좌표는 Q'보다 크게 나타날 것입니다.

 

위 그림처럼 Q'에서 P'으로의 x축, y축으로의 평행이동을 나타내기 위해 직각삼각형을 잡으면, 도형의 대칭에 의해 원점 O 부근에서도 같은 직각삼각형을 생각할 수 있습니다. 그것을 임의로 ORS라고 둡시다. 한편, ∠Q'OQ=θ 이고, 사각형 ROQ'P'이 직각사각형이므로 ∠ROQ'=90˚, 따라서 ∠ROS=90˚-θ 가 됩니다. 삼각형 RSO가 직각삼각형이므로, 이로부터 ∠ORS=θ임을 알 수 있습니다. 이러한 일련의 과정은 중학교 도형을 다룰 때 많이 해보던 것들입니다.

 

위 그림은 선분 OS와 RS를 구하는 과정입니다. 먼저, 선분 PQ의 길이는 P의 y좌표인 'y'가 됩니다. 따라서 직사각형 P'QSR의 높이인 P'Q', RO 길이 또한 y가 될 것입니다. 한편, 직각삼각형 ORS의 빗변(선분 OR)을 제외한 각 변을 삼각비를 이용해서 나타내면 RS=ycosθ, OS=ysinθ가 됩니다. 이제 끝으로 P'의 좌표를 구해봅시다.

 

위 그림에서 도형의 대칭성을 이용해서 직각삼각형의 길이를 같게 가져갈 수 있습니다. (짙은 파란색 글씨) 직각삼각형의 밑변과 높이의 길이가 각각 ysinθ, ycosθ로 주어지는데요. 이로써 P'(x', y')의 좌표를, Q'의 좌표로부터 평행이동한 평행이동의 개념을 써서 구해낼 수 있었습니다.

즉 P'의 x좌표는 Q'의 x좌표인 xcosθ에서 직각삼각형의 밑변의 길이인 ysinθ를 뺀 xcosθ-ysinθ로 나타낼 수 있고, P'의 y좌표는 Q'의 y좌표인 xsinθ에서 직각삼각형의 높이인 ycosθ를 더한 xsinθ+ycosθ로 나타낼 수 있습니다. 이를 식으로 나타내면,

 

위 식을 행렬의 형태를 써서 회전 변환임을 나타내면,

//유도 완료

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정리      

이번 포스팅에서는

1. 회전변환 공식 소개와 유도

2. 유도 과정에서 사용된 기하학적인 관계들

3. 유도 과정에서 사용된 공식들

을 살펴보았습니다. 

 

회전변환은 기하와 벡터의 첫 단원인 일차변환에 처음 소개되는 내용으로, 유도과정이 약간 복잡합니다. 물론 결과만 외워서 적용할 수도 있겠으나 그렇게 하면 깊은 공부가 될 수 없기에 따로 소개해드렸습니다. 회전변환을 유도하면서 사용된 '대칭'의 개념과 회전의 개념, 더불어 삼각비를 써서 길이를 표현하는 방법 등은 앞으로 무수히 많이 나오게 될 것이므로 반드시 알아둬야 합니다.

 

학생들 중에는 기하와 벡터 단원을 어려워하고 싫어하는 학생이 많습니다. 저 역시 도형에 대한 감이 그렇게 좋지 않아서 공간도형 문제를 항상 긴장하고 풀었던 경험이 있습니다. 한 가지 조언을 드리자면, 꼭 기본기를 익혀라는 것입니다. 중학교때부터 배우는 삼각비, 라디안을 도입하면서 나오는 공식들(l=rθ, S=1/2r²θ), 원과 접선, 삼각형의 넓이 등 기본적인 것들을 몰라서, 혹은 그 기본적인 것들을 잘 조합하고 적용할 줄 몰라서 손도 못 대는 경우가 많은데요. 아무리 복잡한 도형이라도 각 요소들을 기본적인 수학적 표현으로 나타내다보면 전체를 볼 줄 아는 눈이 생길 것입니다.

 

수능 기출문제 중 공간도형 어려운 문제를 몇시간이고 고민한 끝에 풀었던 경험이 있습니다. 도형을 이리저리 뜯어보면서, 끙끙대던 그 어느 순간, 도형을 보는 제 시야가 한층 넓어짐을 체감한 적이 있습니다. 도형도 많이 다뤄보고 고민해 본 학생들에게 유리합니다. 안 풀린다고 쉽게 풀이를 본다면 그 풀이는 학생에게 독이 될 것입니다. 특히 도형파트는 더 그런 것 같습니다. 어렵다고 문제를 탓하지 마시고, 기본적인 개념은 제대로 정립됐는 지 다시 한 번 자기 자신을 점검해 보시기 바랍니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.