정사영의 정의/공식/고난이도 문제

정사영의 정의/공식/고난이도 문제

 

이 포스팅은 정사영의 정의 및 관련 문제에 관한 글 입니다.

정사영은 기하와 벡터의 공간도형에서 다루는 중요한 단원입니다.

정사영에 관한 개념이 제대로 잡히지 않는다면, 정사영 응용문제에서 헤맬 수 있기에 이렇게 포스팅합니다.

 

 

이 글이 필요한 학생은

1. 공간도형에서 정사영이 궁금한 학생.

 

2. 정사영이 어떻게 문제에서 활용되는 지가 궁금한 학생.

 

3. 공간도형에 감이 없는 학생. 

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

그럼 포스팅 시작합니다.

---

정사영의 정의 및 공식         

 

 

1) 정사영의 정의

정사영이란, 특정 도형(또는 선분)에 빛을 쪼였을 때, 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자를 뜻합니다. 아래 그림에서 P'을 도형 P의 평면 o로의 정사영이라 부릅니다.

 

정사영에서 중요한 것은, 정사영이 생기는 평면에 빛이 수직하게 쏘여야 한다는 것 입니다.

 

 

2) 정사영 관련 공식

 

 

위 그림에서 F'을 도형 F의 평면 β위로의 정사영이라고 했을 때,  다음 넓이 관계가 성립합니다.

이 때 θ는 평면 α와 평면 β가 이루는 각도입니다.

cosθ는 1보다 작거나 같기 때문에, 정사영의 넓이는 항상 원래 도형의 넓이보다 작거나 같습니다.

---

정사영 관련 문제 (정사영 응용)         

 

정사영의 공식은 간단하나, 정사영이 응용된 문제들은 개념을 제대로 모른다면 풀기가 의외로 어렵고 까다롭습니다. 다음 문제는 정사영에 관한 응용문제입니다.

 

<문제>

탁자 위에 반지름의 길이가 6인 구가 놓여 있다. 탁자면에 대하여 30˚의 방향으로 빛이 입사할 때, 탁자에 비친 구의 그림자의 넓이는?

 

 

 

<풀이>

정사영에서 중요한 건 '빛이 평면에 수직하게 쏘여아 한다는 것' 이라고 앞서 밝혔습니다.

그런데 이 문제에서는 그림자가 생기는 평면(지면)과 빛이 수직을 이루고 있지 않는군요.

따라서 섣불리 S' = S cosθ 공식을 써선 안 됩니다. 다음 그림을 봅시다.

 

 

우리가 구하고자 하는 도형의 넓이는 평면 α위에 생긴 그림자 S₁입니다.

이 도형(S₁)은 구의 평면 α위로의 정사영이 아닙니다.

거듭 말하지만, 정사영은 그림자가 생기는 평면에 빛이 수직하게 비쳐야 하며, S'=Scosθ에서 정사영의 넓이는 원래 넓이의 크기보다 작거나 같아야 합니다.

 

그럼 어떻게 하면 될까요?

바로, 정사영의 관계를 이용하기 위해 빛에 수직한 평면을 하나 설정하는 것입니다. (아래 그림)

 

평면 β는 빛에 수직하며, 구의 절반을 분할하는 평면입니다.

 

이제 빛에 수직하는 평면이 생겼으므로, 정사영의 관계를 쓸 수 있습니다.

S₂는 도형 S₁의 평면 β로의 정사영입니다.

여기서 S₂는 6 x 6 x π = 36π , θ는 S₁과 평면 β가 이루는 각인 60˚ 입니다. (아래 그림 참고)

 

 

 

이 값들을 위 정사영 관련 수식에 대입하면,

 

풀이 끝//

---

정리        

이번 포스팅에서는

 

1. 정사영의 정의

2. 정사영의 공식

3. 정사영이 응용된 공간도형 문제

 

 

 

에 대해 살펴봤습니다.

 

정사영관련 공식은 오직 그림자가 생기는 평면에 빛이 수직하게 비춰질 때에만 쓸 수 있는 공식입니다. 만약 그런 상황이 주어지지 않는다면, 이 포스팅에서 소개한 것처럼 빛에 수직한 평면을 설정한 뒤 문제를 해결해나가야 합니다.

 

식의 의미를 제대로 파악하지 않고 개념을 수박 겉핥기식으로 학습한 학생은 문제가 응용되면 잘 풀 지 못합니다. 내가 알고 있는 것이 참지식인 지 항상 점검, 반성하는 자세를 기르시기 바랍니다.

 

제 글이 많은 학생에게 도움이 됐으면 합니다.