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무한급수 ∑(1/n)² 의 수렴, 수렴값 π²/6 증명 ∑1/n² 의 수렴 및 수렴값 증명(∑1/k² 수렴) 이 포스팅은 무한급수 ∑1/n² (시그마(sigma) 1/n^2, 시그마(sigma) 1/k^2 )이 수렴함을 증명하는 글 입니다. 현업에서 수학을 많이 쓰는 사람으로서, 그간 제가 해오던 방식대로 수학적 사고 과정을 고스란히 담아내면 많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 무한급수와 무한수열의 관계 정립이 잘 안 된 학생 2. 무한급수 ∑1/n² (또는 ∑1/k²)이 수렴함에 대한 증명이 궁금한 학생 3. 무한급수 ∑1/n² (또는 ∑1/k²)의 수렴값 π²/6 이 어떻게 나왔는 지 궁금한 학생 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하..

고등수학 2021. 6. 20. 12:58

구의 부피 구하는 방법 - 구의 부피 공식 유도 이 포스팅은 구의 부피의 공식 유도에 관한 글 입니다. 구의 부피는 4/3πR³으로 그 결과만 알려줄 뿐 학교에서도, 학원에서도 증명해주지 않는 부분이라 한번 쯤은 궁금하셨을 겁니다. 구의 부피 구하는 법은 고등학교에서 배우는 회전체의 부피 구하는 법 을 이용하거나 대학교때 배우는 이중적분 이라는 개념을 이용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 두 가지 방법을 가지고 구할 것입니다. 특히 후자의 경우 구의 부피를 구하는 데 사용되는 이중적분의 개념을 다소 직관적이고 이해하기 쉬운 방법으로 설명하겠습니다. 글을 읽는분이 고등학생이라면 그냥 가볍게 읽어보고 넘어가셔도 되는 부분입니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 미분과 적분의 개념을 알고 있는 학생. 2. 구의 ..

고등수학 2021. 6. 20. 12:55

구의 겉넓이 구하는 법 - 구의 겉넓이 공식 유도 이 포스팅은 구의 겉넓이의 공식 유도에 관한 글 입니다. 구의 겉넓이는 4πR²으로 그 결과만 알려줄 뿐 학교에서도, 학원에서도 증명해주지 않는 부분이라 한번 쯤은 궁금하셨을 겁니다. 그 이유는 구의 겉넓이는 대학교 때 배우는 이중적분이라는 개념을 이용해 구할 수 있기 때문입니다. 이 글에서는 구의 겉넓이를 구하는 데 사용되는 이중적분의 개념을 다소 직관적이고 이해하기 쉬운 방법으로 설명하겠습니다. 글을 읽는 여러분이 고등학생이라면 그냥 가볍게 읽어보고 넘어가셔도 됩니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 미분과 적분의 개념을 알고 있는 학생. 2. 구의 겉넓이를 구하는 과정을 알고 싶은 학생 3. 이중적분은 어떻게 사용되는 지 알고싶은 학생. 입니다. 제 글..

카테고리 없음 2021. 6. 20. 12:51

해와 근의 차이점. 「방정식을 만족시키는 x 값을 해 또는 근」이라고 합니다. 즉 해와 근은 같은 말인데요. 그럼 왜 같은 말을 다르게 표현할까요? 1. 근 (根) 수학이라는 학문은 서양에서 발전했는데요. 서양에서 방정식의 근을 root라고 표현합니다. *이 때 root는 근호(√)와는 다른 의미입니다. root는 말 그대로 방정식을 만족시키게 하는 뿌리라는 의미입니다. 이 서양식 표현이 동양으로 넘어오면서 뿌리 근(根)자를 써서 '근'으로 번역되어 넘어왔습니다. 2. 해 (解) 한편, 방정식 뿐만아니라 일반적인 문제(부등식, 증명, 식 유도 등..)를 푼다는 것을 영어로 'solution'을 구한다고 합니다. 이 말은 '문제를 풀다, 해결하다'는 뜻으로, 한자에서 풀 해(解)자로 번역돼 '해'로 쓰이기..

고등수학 2021. 6. 20. 12:48

::벡터의 내적과 삼각형의 넓이 공식:: 삼각형의 넓이를 구하는 방법에는 여러가지가 있으나, 벡터의 내적을 이용한 아래 공식도 있습니다. 즉, 두 벡터의 크기와 내적에 관한 정보만 있으면 두 벡터에 의해 만들어지는 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다. 이제부터는 이에 관한 공식 유도 과정을 알아보겠습니다. 위 그림과같이 두 벡터 a, b가 각도 θ를 이루고 있고, 그로 인해 만들어지는 가상의 삼각형 AOB를 생각해봅시다. 그러면 삼각형 AOB의 넓이는 아래와 같이 주어집니다. (두 변과 그 끼인각이 주어졌을 때 삼각형의 넓이는 각 변과 끼인각의 사인값을 곱해서 2로 나누어주면 구할 수 있습니다. 관련 내용은 다음 링크에 정리되어있습니다.) https://color-change.tistory.com/4 이제..

고등수학 2021. 6. 19. 13:16

::(기하와 벡터) 회전변환 식 유도:: - 개념, 공식, 증명, 유도 이 포스팅은 기하와 벡터의 회전변환 공식을 유도하는 글 입니다. 회전변환은 고교 수학(자연계) 기하와 벡터 과목의 전반부에서 처음 소개되는 내용으로, 일차변환의 대표적인 예입니다. 회전변환은 특정 점이나 도형을 평면좌표에서 각도 θ만큼 회전시켜주는 변환으로, 응용 범위 및 적용 가능성이 비교적 큰 편입니다. 특히 이 단원은 삼각함수나 중학교 기하 쪽이 일부 들어오기 때문에 학생들이 그 유도과정을 제대로 이해하지 못하고 넘어가는 경우가 많은데요. 그런 학생들을 위해 따로 자료화해서 정리하면 도움이 될 것 같아 포스팅 합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 회전변환의 공식이 궁금한 학생. 2. 회전변환의 공식이 어떻게 해서 나왔는 지 그 ..

고등수학 2021. 6. 19. 13:14

타원의 넓이 구하기(치환적분) 이 포스팅은 타원의 넓이 유도에 관한 글 입니다. 고등학교 수학 기하와 벡터 파트에서는 타원의 정의, 장축, 단축, 초점, 접선에 대해 다루는데 타원의 넓이를 구하는 과정은 빠져있습니다. 이와 관련해 궁금한 학생들을 위하여 포스팅합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 타원의 넓이 구하는 방법이 궁금한 학생. 2. 타원의 넓이 공식이 궁금한 학생. 3. 이차곡선의 개념이 부족한 학생. 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 타원의 넓이 다음과 같은 타원의 방정식 표준형에 대하여, 타원의 넓이 S는 abπ 로 주어집니다. 증명 * 도형을 함수로 표현하기. 타원의 넓이를 구하기 위해선 타원의 '방정식'을 '함수'형태로 바꿔줘야 합..

고등수학 2021. 6. 19. 13:11

정사영의 정의/공식/고난이도 문제 이 포스팅은 정사영의 정의 및 관련 문제에 관한 글 입니다. 정사영은 기하와 벡터의 공간도형에서 다루는 중요한 단원입니다. 정사영에 관한 개념이 제대로 잡히지 않는다면, 정사영 응용문제에서 헤맬 수 있기에 이렇게 포스팅합니다. 이 글이 필요한 학생은 1. 공간도형에서 정사영이 궁금한 학생. 2. 정사영이 어떻게 문제에서 활용되는 지가 궁금한 학생. 3. 공간도형에 감이 없는 학생. 입니다. 제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다. 그럼 포스팅 시작합니다. 정사영의 정의 및 공식 1) 정사영의 정의 정사영이란, 특정 도형(또는 선분)에 빛을 쪼였을 때, 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자를 뜻합니다. 아래 그림에서 P'을 도형 P의 평면 o로의 정사영이라..

고등수학 2021. 6. 19. 13:09