삼각형의 무게중심에 관한 공식, 증명, 성질

삼각형의 무게중심에 관한 공식, 증명, 성질

 

이 글이 필요한 학생은

 

1. 삼각형의 무게중심에 대해 공부하고 싶은 학생

 

2. 삼각형의 무게중심에 관련된 증명을 알고 싶은 학생

 

3. 삼각형의 무게중심이 언제 적용되는 지 알고싶은 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

---

삼각형의 무게중심의 정의

 

삼각형의 무게중심이란, 삼각형을 무게를 가지는 하나의 물체로 봤을 때

삼각형의 총 무게가 작용하는 작용점입니다.

무게중심의 물리적인 의미는 삼각형이 무게중심 위에 정확히 위치하게 되면

삼각형이 기울거나 쓰러지지않고 완전히 평형을 이루게 되는 지점입니다.

 

수학적으로 삼각형의 무게중심은 삼각형 세 중선의 교점입니다.

 

 

 

무게중심은 관례적으로 G로 표현합니다.

 

---

 

삼각형의 무게중심관련 공식 소개

 

삼각형의 무게중심에 관련된 공식은 세 개가 있습니다.

 

- 무게중심은 중선을 2:1로 내분한다.

- 무게중심은 삼각형의 넓이를 6등분한다.

- 좌표평면에서 무게중심의 좌표는 각 점의 x, y좌표의 산술평균값이다.

 

이제부터 이 공식을 증명하겠습니다.

 

 

1) 무게중심은 중선을 2:1로 내분한다.

중선이란, 삼각형에서 한 변의 중점과 나머지 한 꼭지점을 이은 선분입니다.

위 그림에서 점선으로 표시한 게 삼각형의 세 중선입니다.

 

선분 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하겠습니다.

변의 중점 D와 F를 이은 선분은 중점연결정리에 의해 선분 BC와 평행합니다.

또한 선분 DF는 선분 BC의 1/2 입니다.

이를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다.

DF와 BC가 평행하므로 엇각 관계에의해 ∠DFG=∠GBC, ∠FDG=∠GCB 입니다.

따라서 삼각형 DGF와 삼각형 BGC는 닮은삼각형 입니다.(AA닮음)

 

두 삼각형의 닮음비는 (선분 BC와 DF의 비인) 2:1 이므로,

나머지 변들도 똑같이 이 비율을 따릅니다.

 

두 번째 식과 세 번째 식을 보면,

무게중심 G가 중선 CD와 중선 BF를 각각 2:1로 내분한다는 걸 알 수 있습니다.

나머지 중선 AE도 마찬가지 방법으로 하면

무게중심 G에 의해 2:1로 내분된다는 것을 증명할 수 있습니다.

  

2) 무게중심은 삼각형의 넓이를 6등분한다.

먼저 분할된 삼각형 GBE가 전체 삼각형 ABC의 넓이의 1/6이라는 것을 증명하겠습니다. 나머지 삼각형들도 같은 방법으로 증명하면 됩니다.

 

무게중심은 세 중선의 교점입니다. 따라서 점 E는 선분 BC의 중점입니다.

따라서 선분 BE와 선분 CE의 길이는 같습니다.

한편, 삼각형 ABE와 삼각형 ACE는 그림상 높이가 같은 삼각형입니다.

이 두 삼각형의 밑변인 BE와 CE의 길이가 같으므로 넓이 역시 같게됩니다.

 

따라서 삼각형 ABE는 전체 삼각형 ABC의 넓이의 1/2입니다.

 

이제 삼각형 ABE에서 분할된 두 삼각형 AGB와 BGE를 보겠습니다.

G가 중선 AE를 2:1로 내분하므로, 이 두 삼각형의 밑변인 AG와 GE의 비는 2:1입니다.

두 삼각형의 높이는 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의 비를 따라 2:1이 됩니다.

 

 

따라서 삼각형 BGE의 넓이는 삼각형 ABE 넓이의 1/3에 해당합니다.

그런데 위에서 삼각형 ABE의 넓이는 전체 삼각형의 1/2라고 했으므로 이를 대입하면

삼각형 BGE의 넓이는 ABC 넓이의 1/6이 됩니다.

 

분할된 나머지 다섯개의 삼각형에 대해서도 같은 논리를 적용할 수 있습니다.

 

따라서 무게중심 G는 삼각형의 넓이를 6등분합니다.

 

*참고 : 이로써 수학적으로 삼각형의 넓이를 6등분하는 점이 물리적으로 무게중심이 되는 이유를 설명할 수 있습니다. 삼각형을 무게를 가지는 물체로 보되, 특히 총 무게가 삼각형 전체에 골고루 분포돼있다고 가정하면 이를 정확히 등분시키는 지점이 바로 무게의 중심이 됩니다. 즉, 삼각형의 넓이가 6등분 되는 그 지점이 무게중심이 되는 것이며, 이 지점을 뾰족한 다른 물체로 지탱시키면 삼각형은 평형을 이룹니다.

  

 

3)좌표평면에서 무게중심의 좌표는 각 점의 x, y좌표의 산술평균값이다.

이제 삼각형과 무게중심을 좌표평면으로 옮기겠습니다.

주어진 삼각형의 꼭지점의 좌표를 각각 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)라 하겠습니다.

우리는 무게중심 G의 좌표를 구해야합니다.

 

결론부터 말하면 G의 좌표는 세 좌표의 산술평균과 같습니다.

 

- 내분점

이를 증명하기에 앞서 내분점에 대해 알아봅시다.

내분점이란 두 점을 특정 비율로 분할하는 점으로 두 점 사이에 있는 점입니다.

(두 점 안쪽에서 분할한다고 해서 내분점이라 합니다.)

 

점 A(x1, y1)와 B(x2, y2)를 m : n으로 내분하는 내분점 P의 좌표는 다음과같이 주어집니다.

 

이 때 점 A와 B를 m:n으로 내분한다는 의미는 AP : BP = m : n 이라는 의미입니다.

 

 

 

- G의 좌표 구하기

이제 원래의 문제로 돌아와서, 삼각형의 세 꼭지점의 좌표가 각각 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)일 때 무게중심 G의 좌표를 구해보겠습니다.

 

 

 

위 그림에서 점 E는 B와 C를 1:1로 내분하는 내분점 입니다.

(1:1 내분점을 흔히 중점이라 합니다.)

따라서 점 E의 좌표는 내분점 공식에 대입하면 다음과 같습니다.

 

 

 

한편, 중선 AE는 G에 의해 2:1로 내분된다는 것을 앞에서 밝혔습니다.

따라서 점 G는 점 A와 E를 2:1로 내분하는 내분점 입니다.

A(x1, y1)과 위에서 구한 E의 좌표, 그리고 m=2, n=1을 내분점 공식에 대입하면,

 

 

따라서 무게중심 G의 좌표는 세 꼭지점의 좌표의 산술평균값에 해당합니다.

---

정리

 

이번 포스팅에서는

 

1. 삼각형의 무게중심의 개념 과

2. 무게중심의 성질,

3. 무게중심 관련 공식을 유도

 

해보았습니다.

 

공식을 유도하는 와중에 중점연결정리와 내분점의 개념이 사용되었습니다.

  

삼각형의 무게중심은 도형문제에 자주 등장하는 단골메뉴입니다.

따라서 공식을 완전히 이해하고 활용할 줄 아는 능력을 길러야합니다.

 

공식들을 단순히 암기하기보다는 식에 담긴 의미를 이해하는게 훨씬 중요합니다.