역함수의 모든 것 - 역함수의 정의/개념/성질/미분/적분

역함수의 모든 것

-역함수의 정의/개념/성질/미분/방정식

 

 

이 포스팅은 역함수의 모든 내용에 관한 글 입니다.

 

역함수는 교과과정에서 잘 다루지도 않고, 처음 개념을 잘 세우지 않으면 어렵고 헷갈리는 부분이라 많은 학생들이 역함수 관련 문제에서 헤매곤합니다. 그런 역함수에 관한 개념 및 성질, 나아가 역함수의 미분과 방정식에 대해서 따로 총정리해두면 도움이 될 것 같아 이렇게 글을 씁니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 역함수의 개념 정립이 잘 안 된 학생

2. 역함수가 헷갈리는 학생

3. 역함수에 대해 상세히 공부하기를 원하는 학생

4. 역함수의 미분 및 방정식에 대해서 공부하고 싶은 학생

입니다.

 

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역함수의 개념 및 성질

i) 역함수의 정의 (역함수 개념)

함수란 쉽게말해서 특정 x를 넣었을 때 그 x에 따라 y값이 나오는 관계를 말합니다.

 

(함수: 어떤 함(마법상자)에다가 수를 넣는거죠. 초등학교때 아래와 같은 그림 많이 보셨을 겁니다. 

 

이처럼 함수의 개념은 초등학교때부터 알게모르게 배운답니다.)

 

 

 

역함수란 그 관계를 뒤집어놓은 것으로, 이번에는 원래의 결과값 y를 넣었을 때 그에 대응되는 x가 나오는 관계를 말합니다.

 

 

이제 본격적으로 함수의 개념을 배우기 시작하는 중학교로 가봅시다. 함수란, 어떤 집합 X의 모든 원소 x에 대해 집합 Y의 원소 y에 각각 하나씩 대응되는 관계에 있을 때 이를 함수라고 부릅니다.

 

 

함수의 정의에서는 굵은 글씨로 쓴 부분을 주목해야합니다.

'모든' 원소 x가 아니라면, (예를들어 특정 x에 대해서는 대응관계가 없으면) 그건 함수가 아닙니다.

y에 '각각 하나씩' 대응되는 게 아니라면 (예를들어 특정 x가 두 개 이상의 y값에 대응되는 관계가 있을 때) 그건 함수가 아닙니다.

*집합 Y에는 '모든'이라는 조건이 붙지 않습니다. Y의 원소 y는 모두 대응될 필요는 없습니다. 즉, y는 좀 남아도 됩니다.

 

 

역함수란 정의역(집합 X)과 치역(집합 Y의 원소중 x에 대응된 원소들로만 이뤄진 집합)이 뒤바뀐 관계를 의미합니다.

 

 

역함수도 '함수'이기 때문에 위에서 명시한 함수 조건을 만족시켜야 합니다.

 

한 번 잘 생각해봅시다. 어떤 함수가 역함수를 가지려면 어떻게 돼야할까요?

물론 역함수를 가지기전에 함수 조건을 만족시켜야겠죠.

 

 

만약 그 함수의 정의역 X의 두 원소가 동시에 Y의 한 원소에 대응된다면?

이 경우는 함수는 맞습니다만 역함수는 성립할 수가 없겠죠.

Y에서 X로 대응시킬 때 특정 y값에서 X의 각각 다른 두 원소에 대응돼야하니까요.

 

 

 

한편, 집합 Y의 특정 원소가 대응관계를 이루지 못한다면?

(이 경우를 공역과 치역이 다른 경우라고 합니다. 공역은 집합 Y 전체를, 치역은 아까 말씀드렸다시피 y의 대응값만으로 이뤄진 집합을 이르는 말입니다.)

함수에서 공역과 치역은 다를 수 있습니다. 즉 Y의 원소는 일부 남아도 함수로 본다는 말입니다.

그러나 역함수를 생각하면 조금 다르죠. 만약 남는 y가 있다면 역함수에서는 '모든' y에  각각 x값 하나씩 대응되는 관계가 무너져버리기 때문입니다.

 

 

 

정리하면, 위 두가지 경우에서 함수는 존재하나 그 역함수는 존재하지 않습니다. 위 두가지 경우가 아닌 경우는 딱 한 가지밖에 없습니다.바로, 함수가 일대일대응일 때입니다. (일대일대응 관계를 다른 말로 전단사함수라고 합니다.) 즉, 역함수가 존재하기 위한 조건은 원래의 함수가 일대일대응일 때만 입니다.

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ii) 역함수의 성질

역함수의 성질은 크게 수식적 성질과 기하적 성질 두 가지로 나눠볼 수 있습니다.

 

- 수식적 성질

역함수는 집합 X에서 Y로의 대응을, Y에서 X로의 대응으로 뒤바꾼 관계라 했습니다. 즉, 함수 y=f(x)에서 x와 y를 바꿔 x=f(y) 꼴로 바꿔주면 됩니다. 예를들어, y=x³ 의 역함수는 x=y³ 입니다.

 

방금 한 이 내용은 학교에서 많이 배웠을겁니다.

 

「x와 y의 자리를 바꾼다」

 

그런데 이것만가지고는 역함수를 완전히 이해했다고 할 수 없습니다. 아직 우리는 역함수의 표기법인

의 의미도 제대로 다루지 않았습니다.

 

 

x와 y의 위치를 바꾸는 행위의 의미도 제대로 모르고 무작정 그렇게 하는 것은 그리 바람직한 태도가 아닙니다. 예로 든 y=x³ 의 역함수 x=y³ 를 봅시다. 주어진 함수는 y=f(x)의 꼴 입니다. 식이 y에 관해 정리돼있죠. 그러나 x와 y를 바꾸면 식은 x에 관해 정리된 x=f(y)의 꼴로 바뀝니다.

 

역함수의 표기 

 는 

를 y에 관해 정리한 후 얻어지는 식 이라는 의미입니다.

 

예로든 함수의 역함수를 y에 관해 정리하면,

 

불행하게도 항상 x=f(y)꼴을 y에 관해 정리할 수가 없습니다. (이 부분이 학생들로하여금 역함수를 이해하기 힘들게 만드는 부분이죠) 예를들어 y = 2x³ + 3x² + 6x + 1 의 역함수를 구하는 문제가 있다고 칩시다.

x와 y의 자리를 바꾸고 나면 x = y = 2y³ + 3y² + 6y + 1 이 생기는데, 그 다음에는 이 식을 y에 관해 정리할 수 없기 때문에 막혀버립니다.

 

결론부터 말하면, 역함수의 수식적 성질은

 

「함수와 역함수의 합성함수는 항등함수이다」

 

입니다. 항등함수란 넣는 값과 나오는 값이 같은 함수 즉, y=x 를 의미합니다.

 

 

위 그림은 함수 f(x)와 그 역함수를 합성한 모습입니다.

이 합성함수에 각각 1, 2, 3, 4를 집어넣어봅시다.

 

네 숫자를 집어넣었을 때 나오는 값(함수값)들은 집어넣은 그대로 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 

이처럼, 어떤 함수와 그 역함수를 합성하면 항상 자기 자신이 나오는 함수, 항등함수가 됩니다.

이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

- 기하적 성질

예로 들었던 y=x³  와 그 역함수 x=y³(y=x^⅓) 의 그래프를 그려봅시다.

(지금부터는 편의상 역함수 y=f^-1(x)를 y=g(x)로 표기하겠습니다.)

 

예상했다시피 f(x)와 g(x)는 y=x에 대해 대칭 입니다.

왜 그럴까요? 아까 역함수의 수식적 의미로 합성함수 g(f(x))=x 라고 했습니다. 이 합성함수에 특정 x1을 대입하면 자기 자신이 나와야합니다.(g(f(x1))=x1) 함수 f(x)에 특정 x값 x1을 대입해봅시다. (아래 그림에서 검은색 화살표)

 

 

f(x1)은 y축 위에 있는 y값입니다. 이 값을 함수 g에 넣어서 g(f(x1))을 만들어야합니다. 그런데 주어진 함수는 y=g(x) 꼴이기 때문에 함수 g에는 x축 위의 값이 들어와야합니다. f(x1)을 x축위로 옮기려면 어떻게할까요? 바로 y=x를 이용하면 됩니다. 주황색 화살표를 따라가보면 y축에 있던 f(x1)과 값이 같은 x축 위의 값을 얻어낼 수 있습니다.

 

 

이제 파란색 화살표를 따라 함수 g에 f(x1)을 대입하면 합성함수값 g(f(x1))을 얻을 수 있고, 이는 x1 값과 일치합니다.

 

역함수의 y=x에 대해 대칭이라는 기하적 의미는, 어떤 함수를 y=x에 대해 대칭시키면 역함수 그래프를 얻을 수 있다 는 말입니다. 화살표를 따라가다보면, x1값과 그에 해당하던 f(x1)값이 반대가 됨을 알 수 있습니다.

 

 

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3. 역함수의 미분과 방정식     

역함수의 미분과 방정식

iii) 역함수의 미분

역함수의 미분은 식 f(g(x))=x에서 출발합니다. 이때 본래 함수를 y=f(x), 그 역함수를 y=g(x)라 봅시다.

*여기서 다시 한 번 짚고 넘어갈 것은, y=g(x)의 의미는 y=f(x)에서 x와 y의 자리를 바꾼 x=f(y)꼴의 함수를 다시 y에 관해서 정리했을 때 나오는 그 식이라는 것입니다. 행여 식이 y에 관해 정리가 불가능한 경우라도, 일단은 가능하다고 보시기 바랍니다.

 

f(g(x))=x 의 양 변을 미분해봅시다.

 

위에서 보이는 이상한 식이 역함수의 미분에 관한 식입니다.

 

식을 잘 보면 우리가 넣을 수 있는 값은 x 입니다. x의 특정 값 x1에서 역함수의 미분값을 알고싶다고 합시다. "공식이 g'(x)= 1/f'(g(x)) 이기 때문에 당연히 g(x)를 알아야 하고 그것을 다시 f'(x)에 집어 넣어야 한다" 고 생각하기 쉽습니다. 결론부터 말하면 꼭 그렇지만은 않습니다.

 

(아까 y=f(x)꼴에서 x와 y의 자리를 바꾼 후 생기는 x=f(y)꼴을 y에 관해 정리해야만 역함수 y=g(x)의 완전한 형태를 파악할 수 있다고 했습니다. 물론 y=g(x)의 완전한 형태를 파악할 수만 있다면 더없이 좋겠지만, 그런 경우는 좀처럼 주어지지 않는 게 현실입니다.)

 

역함수의 미분에서는 y=g(x)꼴로 나타낼 수 없어도 미분값을 구할 수 있습니다.

예를 들어봅시다. 앞에서 소개한 y = f(x) =  2x³ + 3x² + 6x + 1 의 역함수는 y=g(x)꼴로 나타내기 힘든 함수였습니다. (x와 y의 자리를 바꿔보세요. x = y = 2y³ + 3y² + 6y + 1 이 되는데, 이를 y에 관해 정리하기가 여간 힘든 게 아닙니다. 3차방정식을 풀어야하니까요.)

 

 

이 함수의 역함수를 y=g(x)라고 할 때, g'(12)의 값을 구해야하는 문제가 있다고 칩시다. 어떻게 하면 될까요? 일단 공식에 집어 넣으면 g'(12)=1/f'(g(12))이므로 g(12)를 구해야 하는데, g(12)가 뭔 지 파악하기가 힘들죠.

 

 

역함수의 합성함수의 개념「x와 y의 역대응관계」를 이용하면 됩니다.

비록 y=g(x)를 구할 수는 없지만 g(12)만큼은 구할 수 있습니다. y = f(x) = 2x³ + 3x² + 6x + 1  에 x=1을 대입하면 함수값 f(1)=12을 얻을 수 있습니다. 이 때 x=1에 대응하는 y값 12의 대응관계를 역으로하면 역함수의 대응관계인 아래의 식이 성립합니다.

 

이게 이해가 잘 안 되는 분은 아래 그림을 참고하시기 바랍니다.

 

 

 

따라서 g(12)=1 입니다.

그런데 f'(x)=6x²+6x+6 이므로 f'(1)=18 입니다.(y=f(x)는 직접미분이 가능합니다.)

 

y=g(x)를 구하지 않고도 미분값을 구할 수 있었습니다. 매우 중요한 내용이죠.

 

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iv) 역함수와 방정식

예를들어 y=f(x)=x³-x-4 의 역함수를 y=g(x)라고 할 때, 방정식 f(x)=g(x)의 근을 구하는 문제가 있다고 칩시다. 이 경우 역시 x와 y의 자리를 바꾸면 x=y³-y-4이 되기 때문에 역함수를 y=g(x)의 꼴로 쉽게 고칠 수 없습니다.

 

 

그러나 역함수의 기하적 성질을 이용하면 역함수를 직접 구하지 않고도 근을 구할 수 있습니다. 역함수는 y=x에 대해 대칭이기 때문에 y=f(x)와 그 역함수 y=g(x)의 교점은 y=f(x)와 y=x의 교점과 일치 합니다.

 

 

즉, 방정식 f(x)=g(x)의 해는 방정식 f(x)=x의 해와 일치 하는 것입니다. (방정식의 근은 함수에서 '두 그래프의 교점'의 의미 입니다.) 이를 문제에 적용하면 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

 

(인수분해과정에서 나온 x²+2x+2 의 판별식이 0보다 작기때문에 y=x²+2x+2의 함수는 항상 x축 위에 있어서 항상 양수입니다. 모든 x값에 대해 양수이기 때문에 인수분해식이 0이 되기 위해서는 인수 x-2가 0이 될 수밖에없습니다.)

 

 

y=g(x)를 구하지 않고도 방정식의 해를 구할 수 있었습니다. 이 역시 매우 중요한 내용입니다.

 

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정리

 

이번 포스팅에서는 역함수와 관련된 모든 내용을 다뤄봤습니다.

 

함수의 개념으로부터 역함수의 개념 및 정의를 이끌어내고, 역함수와 함수를 합성하면 항등함수가 나온다는 수식적 성질과, 역함수는 원래 함수의 y=x에 대한 대칭이라는 기하적 성질을 살펴봤습니다.

 

이를 토대로 역함수의 미분과, 역함수 관련 방정식을 역함수를 직접 구하지 않고도 풀 수 있다는 중요한 사실을 알아봤습니다. 역함수의 개념은 어렵고 헷갈리는 내용이기에 많은 학생들이 힘들어하는 부분입니다. 위에서 설명한 개념만 잘 가지고간다면 역함수 관련 문제를 쉽게 접근할 수 있을 것입니다.

 

역함수의 적분에 관련된 내용은 이번 포스팅에서 다루지는 않았습니다.

역함수의 적분은 역함수의 기하적 성질을 이용해서 풀어나가면 됩니다.

(함수를 그리고 그 함수를 y=x 에 대해 대칭시켜서 역함수의 그래프를 유추)

 

적분 관련해서는 문제마다 상황이 다르게 주어지기 때문에 구체적으로 어떻다고 말할 수 있는 부분이 아니라 내용을 뺐습니다. 궁금한 점을 댓글로 남겨주시면 답변해드리겠습니다.

 

제 글이 역함수로 힘들어하는 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.