삼각형 사인 법칙 증명

1. 들어가며  

삼각형 사인 법칙 증명

 

이 포스팅은 삼각형 사인법칙의 증명 및 식의 의미에 관한 글 입니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 사인법칙의 증명이 궁금한 학생

2. 사인법칙의 의미가 궁금한 학생

3. 사인법칙의 용도가 궁금한 학생 

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

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사인법칙이란?          

삼각형 사인 법칙의 정의

 

사인법칙은 모든 삼각형 ABC에서 성립하는 다음 식입니다.

 

식에서 a, b, c는 각 A, B, C의 대변이고, R은 외접원의 반지름입니다.

3. 공식증명    및 의미        

 

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1)사인 법칙 증명

사인법칙은 외심의 성질에서 출발합니다.

삼각형의 외심의 중요한 성질은 바로 외심이 삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점이라는 것입니다.

 

 

외심에 대해 더 자세히 알고자 하는 학생은 아래 링크를 참고하세요.

color-change.tistory.com/5

 

 

이제 외심이 세 변의 수직이등분선의 교점이라는 사실을 바탕으로

사인법칙을 증명, 유도해보겠습니다.

증명은 간단한 그림으로 가능합니다. 아래 삼각형과 그 외접원 그림을 봅시다.

 

그림에서 ∠A는 부채꼴 OBC의 원주각입니다.

원주각은 부채꼴 중심각의 1/2 이라는 성질이 있습니다.

따라서 중심각 ∠BOC = 2∠A 입니다.

 

그런데 삼각형 OBC에서 분할된 두 삼각형 OBD와 OCD는 서로 합동입니다.(RHS합동)

따라서 중심각인 ∠BOC는 반으로 나눠져서 ∠BOD=∠COD=∠A가 되고,

삼각비의 정의 중 사인의 정의를 이용해 선분 BD와 선분 CD를 R과 ∠A로 나타내면,

입니다. 이를 종합해서 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

 

그런데 BD와 CD의 합이 변 a가 되는군요.

 

나머지 두 변 b, c 도 같은 방법으로 증명하면 됩니다.

사인 법칙 증명 완료.

 

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2) 사인법칙의 의미

공식 자체보다 중요한건 그 공식의 의미를 제대로 이해하는 것입니다.

 

사실 사인법칙에서 마지막에 등식에 등장하는 2R은 a, b, c와 sinA, sinB, sinC간의 관계를 매개해주는 역할을 할 뿐, 문제에서 2R이 쓰이는 경우는 많이 없습니다.

 

외심의 반지름이 직접 문제에 등장하는 경우 말고 단지 삼각형만 주어진 경우에는

사인법칙의 앞의 세 식이 중요합니다. 

 

 

이 식이 의미하는 바는 무엇일까요? 예를 들어 보겠습니다.

 

 

위 그림에서 ∠A = 60˚, a=3, ∠B= 45˚일 때 b의 길이를 묻는 문제가 있다고 칩시다.

주어진 것들은 각 두 개와 변 하나라서 코사인 제 2법칙을 적용할 수 없습니다.

(코사인 제 2법칙은 삼각형에서 특정 요소를 구하는 데 가장 많이 활용되는 식으로,

 i) 두 변과 그 끼인각이 주어졌을 때

 ii) 세 변이 주어졌을 때

사용할 수 있는 식입니다.)

 

이런 경우라면 삼각형에서 각 각과 그 대변의 관계를 바로 연결시켜주는 사인법칙 을 사용해야합니다.

사인법칙에서 앞의 두 식만을 쓰면 됩니다.

 

 

이와같이 사인법칙은 코사인 제 2법칙을 곧바로 적용할 수 없는 경우

그 대안으로서 중요한 해결책 이 되는 공식입니다.

 

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정리

4. 정리       

이번 포스팅에서는

 

1. 사인법칙의 유도과정과

2. 사인법칙이 활용된 예,

3. 사인법칙의 의미

 

에 대해 알아보았습니다.

 

사인법칙은 코사인 제 2법칙만큼 사용빈도수가 높은 건 아니지만,

그래도 식의 효용성이 뛰어난 공식입니다.

 

사인법칙의 유도과정에 녹아있는 아이디어를 잘 파악하시고,

식의 의미에 대해 숙고한 후 올바른 상황에 적용할 수 있기를 바랍니다.