삼각형의 외심 공식, 증명, 성질

삼각형의 외심 공식, 증명, 성질

 

이 포스팅은

 

삼각형의 외심에 관한 공식, 증명, 성질에 관한 글 입니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 삼각형의 외심에 대해 공부하고 싶은 학생

2. 삼각형의 외심에 관련된 증명을 알고 싶은 학생

3. 삼각형의 외심이 언제 적용되는 지 알고싶은 학생

 

입니다.

 

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삼각형의 외심 정의 

 

 

 

삼각형의 외심이란, 아래 그림과 같이  

삼각형에 외접(바깥에서 접하는)하는 원을 그 삼각형의 외접원이라 하고,

외접원의 중심을 그 삼각형의 외심이라고 합니다.

 

 

 

외심은 관례적으로 대문자 O로 표현합니다.

 

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. 삼각형의 외심 관련 공식 및 공식 유도    

삼각형의 외심 작도법

 

 

삼각형의 외심은 외심을 작도하는 법에서부터 출발합니다.

 

결론부터 말하면, 삼각형의 외심은 삼각형 세 변의 수직이등분선의 교점 입니다.

왜 그런 지 살펴봅시다.

 

수직이등분선이란 한 선분을 수직으로 이등분하는 직선입니다.

수직이등분선 위의 임의의 점으로부터 선분 양 끝점까지의 거리는 같습니다.(아래그림)

 

 

 

 

 

위 그림에서 삼각형 APB는 이등변 삼각형이며, 따라서 ∠PAB = ∠PBA 입니다.

수직이등분선의 성질을 삼각형에 적용하면 아래 그림과 같이 됩니다.

 

 

위 그림에서 점선은 삼각형의 각 선분의 수직이등분선들이고, 한점 O에서 만납니다.

 

-삼각형 AOC에서 O는 수직이등분선 위의 점이므로 선분 OA와 OC의 길이는 같습니다.

-삼각형 AOB에서 O는 수직이등분선 위의 점이므로 선분 OA와 OB의 길이는 같습니다.

-삼각형 BOC에서 O는 수직이등분선 위의 점이므로 선분 OB와 OC의 길이는 같습니다.

 

즉,

 

서로다른 세 점 A, B, C는 한 정점 O로부터 같은 거리에 있는 점입니다.

서로다른 세 점이 한 정점으로부터 같은 거리에 있으면

그 세 점은 한 원 위에있고 나머지 한 정점은 그 원의 중심이 됩니다.

 

따라서 위 그림에서 점 O를 중심으로 원을 그릴 수 있는데, 그 원위에는 점 A,B,C가 있습니다.

 

위 그림에서 원은 삼각형의 세 꼭지점을 지나는 외접원입니다.

따라서 외심원은 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점으로 작도할 수 있습니다.

 

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외심과 관련된 공식

 

i) 사인법칙

외심과 관련된 법칙에는 사인법칙이 있습니다.

사인법칙은 다음 식입니다.

식에서 a, b, c는 각 A, B, C의 대변이고, R은 외접원의 반지름입니다.

 

증명은 간단한 그림으로 가능합니다. 아래 외접원 그림을 봅시다.

 

그림에서 ∠A는 부채꼴 OBC의 원주각입니다.

원주각은 부채꼴 중심각의 1/2 이라는 성질이 있습니다.

따라서 중심각 ∠BOC = 2∠A 입니다.

 

그런데 삼각형 OBC에서 분할된 두 삼각형 OBD와 OCD는 서로 합동입니다.(RHS합동)

따라서 중심각인 ∠BOC는 반으로 나눠져서 ∠BOD=∠COD=∠A가 되고,

삼각비의 정의 중 사인의 정의를 이용해 선분 BD와 선분 CD를 R과 ∠A로 나타내면,

입니다. 이를 종합해서 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

 

 

그런데 BD와 CD의 합이 변 a가 되는군요.

 

나머지 두 변 b, c 도 같은 방법으로 증명하면 됩니다.

사인 법칙 증명 완료.

 

 

 

ii) 삼각형의 넓이

다음으로, 외접원의 반지름 R을 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 공식도 있습니다.

 

공식 유도는 이전 포스팅을 참고하시기 바랍니다.

 

color-change.tistory.com/4

 

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정리        

이번 포스팅에서는

 

1. 삼각형의 외심의 개념 과

2. 외심을 작도하는 법(외심의 성질),

3. 관련 공식을 유도

 

해보았습니다.

 

이 내용은 중학교과정 내용이며 간혹가다가 도형 문제,

특히 도형이 연관된 함수극한문제나 무한등비급수 문제에 출제되어 나옵니다.

 

 

따라서 미리 대비해두지 않으면

위에서 증명한 내심 관련 공식을 끌어다 쓸 수 없기에

이렇게 포스팅했습니다.

 

 

공식을 단순암기하기보다는

유도 과정을 기억하시고 직접 공식유도를 해 본 후

완전히 자기 자신 것으로 체화시키기 바랍니다.

 

그래야만 고등과정에서는 잘 쓰이지도않는 위 공식을

혹시모를 경우가 발생했을 시 재생해서 쓸 수 있기 때문입니다.