(총정리) 삼각형의 넓이 구하는 공식

(총정리) 삼각형의 넓이 구하는 공식

 

 

이 포스팅은

 

삼각형의 넓이를 구하는 공식과 그 유도과정을

초,중,고 모든 학생을 망라하여 총정리한 글 입니다.

 

현업에서 수학을 많이 쓰는 사람으로서,

그간 제가 해오던 방식대로 수학적 사고 과정을 고스란히 담아내면

많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다. 

 

이 글이 필요한 학생은

1. 삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법을 알고싶은 학생

2. 도형에 대한 감이 없는 학생

3. 도형에 대한 자신이 없는 학생

 

입니다. 

 

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2. 삼각형의 넓이구하는 공식  

 

삼각형의 넓이 구하는 공식 정리: 총 6가지 공식

 

 

삼각형 넓이 구하는 공식은 총 여섯가지로 요약할 수 있습니다.

 

 

특히 공식 3)을 헤론의 공식이라 부릅니다.

 

위 공식에서 쓰인 여러 문자의 의미는 다음과 같습니다

S : 삼각형의 넓이

a, b, c : 삼각형의 세 변의 길이

h : 삼각형의 높이

θ : 삼각형에서 두 변의 끼인각

x₁,x₂,x₃,y₁,y₂,y₃ : 좌표평면에서 삼각형을 이루는 세 점의 좌표.

R : 삼각형의 외접원의 반지름

r : 삼각형의 내접원의 반지름

 

 

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삼각형 넓이 공식 유도

 

1)삼각형의 넓이의 정의

 

 

 

식 1)은 초등학교 때 배운 삼각형의 넓의의 정의입니다. 따라서 따로 유도할 게 없습니다. 

(엄밀히 말하면 사각형 넓이의 정의에서 파생되어 나온 것입니다.)

 

 

 

위와 같은 삼각형의 넓이는 밑변과 높이의 곱을 반으로 나눈 것 입니다. (정의)

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2) 두 변과 그 끼인각을 이용한 넓이 계산

 

공식 2)는 1)을 제외한 나머지 식들 중 가장 근간이 되는 식 입니다.

나머지 식은 모두 이 식으로부터 나오므로 반드시 이해하시기 바랍니다.

공식 유도는 그리 어렵지 않습니다.

 

아래 그림과 같이, 삼각형의 두 변과 그 끼인각이 주어진 상황이 있습니다.

 

위 그림에서 삼각형의 밑변을 a로 보고, 그 때의 높이를 b와 θ로 표현하면,

아래 그림처럼 높이= bsinθ가 됩니다.

 

 

삼각형의 넓이의 정의 「밑변 곱하기 높이 나누기 2」를 적용하면

삼각형의 두 변 a, b와 그 끼인각 θ가 주어진 경우의 넓이 공식이 유도됩니다.

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3) 세 변이 주어진 경우의 넓이(헤론의 공식 유도)

 

 

삼각형의 세 변이 주어진 경우 넓이 구하는 공식이 있습니다.

헤론에 의해 유도되었다해서 헤론의 공식으로 알려져 있는데요.

이제부터 헤론의 공식 유도를 하겠습니다.

 

단, 헤론의 공식은 외우지 마시고 유도과정과 아이디어만 잘 이해하시기 바랍니다.

 

 

아이디어는 간단합니다.

세 변으로부터 아무 끼인각 하나를 구해 공식 2)에 대입 하면 됩니다.

 

삼각형의 세 변이 주어졌을 때 한 각도를 구하는 방법으로는 코사인 제 2법칙 이 있습니다.

 

삼각형의 세 변이 주어진 아래 그림에서 (θ는 현재 모르는 값입니다.)

 

코사인 제 2법칙을 이용해 cosθ를 구하면

 

 

그런데 우리가 필요한 건 공식 2)에 대입할 수 있는 sinθ 입니다.

세 종류의 삼각비(sin, cos, tan) 중 하나만 주어지면 나머지 두 개는 자동적으로 구할 수 있습니다.

이와 관련된 공식이 아래 두 공식인데요,

 

 

우리는 위의 두 식 중 첫번째 식(제곱공식이라 불림)을 이용해 sinθ를 구해보겠습니다.

 

이를 공식 2)에 대입하면,

 

사실 여기까지만 해도 됩니다.

식을 보면 삼각형의 넓이가 세 변의 길이 a, b, c 만으로 나타내졌음을 알 수 있으니까요.

 

헤론은 이를 좀 더 기억하기 쉽게 하기 위해 임의의 매개변수 s를 도입 한 것 뿐입니다.

라 두면, 위 식은 아래와 같이 멋지게 바뀝니다.

(궁금하시면 직접 s를 대입해서 비교해보시길 바랍니다.)

 

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4) 삼각형의 외접원의 반지름과 세 변이 주어졌을 때

 

 

 

위 그림에서 다음 식이 성립합니다.

 

이를 사인법칙 이라고 부릅니다.

 

 

사인법칙에서 sinC를 c와 R로 표현하면 다음과 같이 됩니다.

 

이제 이 식을 넓이 공식 2)에 대입할텐데요.

공식 2)에서 주어진 두 변을 a와 b라 보면 그 때의 끼인각은 위 그림에서 각C에 대응합니다. 따라서,

 

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5) 삼각형의 내접원의 반지름과 세 변이 주어졌을 때

 

 

 

 

위 그림에서 분할된 세 삼각형의 넓이는 

와 같습니다. 이들 세 넓이의 합이 전체 삼각형 넓이 S와 같으므로,

 

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6) 삼각형의 세 꼭지점의 좌표가 주어졌을 때

 

 

 

i) 두 점으로 이뤄진 선분의 길이를 구합니다. 이 선분을 삼각형의 밑변으로 봅니다.

ii) 그 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하고,

ii) 그 직선과 나머지 한 점 사이의 거리를 구합니다. 이 거리가 삼각형의 높이가 됩니다.

iii) 삼각형의 넓이의 정의 (밑변 곱하기 높이 나누기 2)에 대입하여 넓이를 구합니다.

 

 

 

1) 밑변의 길이

위 그림에서 점 A(x1,y1), B(x2, y2)사이의 거리는 다음과 같습니다.

 

 

 

2) A, B를 지나는 직선의 방정식

A, B를 지나는 직선의 방정식의 기울기는 아래와 같습니다.

 

직선은 점 A(x1, y1)을 지나므로 이를 고려해 직선의 방정식을 구하면 다음과 같습니다.

 

표준형으로 표현된 위 식을 직선의 방정식의 일반형(ax+by+c=0꼴)으로 고치면 아래와 같습니다.

 

 

3) 삼각형의 높이

한 정점과 직선사이의 거리는 아래 공식을 이용해 구할 수 있습니다.

 

이를 이용해 점 C(x3, y3)와, 2)에서 구한 직선의 방정식 거리(삼각형의 높이)를 구할 수 있습니다.

 

 

 

iv) 넓이

 

 

공식 유도 완료.

 

 

이제 이 공식을 외우는 쉬운 방법 을 알려드리겠습니다.

먼저 다음과 같이 씁니다.

 

절댓값 안을 채울 때 윗줄에는 차례로 x1, x2, x3을 쓰고 마지막에는 처음에 썼던 x1을 씁니다.

아랫줄도 같은 방식으로 y1, y2, y3을 쓰고 마지막에 처음에 썼던 y1을 씁니다.

 

그 후, 아래와 같이 화살표를 긋습니다.

 

먼저 x1, x2, x3 에서 오른쪽 아래로 화살표를 긋습니다. (붉은색 화살표)

그렇게 이뤄진 쌍끼리 곱해서 더합니다. (x1y2 + x2y3 + x3y1)

 

다음으로 끝의 x1부터 시작해서 x3, x2에서 왼쪽 아래로 화살표를 긋습니다. (파란색 화살표)

그렇게 이뤄진 쌍끼리 곱해서 더합니다. (x1y3 + x3y2 + x2y1)

 

위의 경우 '오른쪽'이기 때문에 + 부호를,

아래의 경우 '왼쪽'이기 때문에 - 부호를 붙여주고, 이들을 더합니다.

 

그러면 다음 공식이 만들어집니다.

 

 

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정리

4. 정리        

이번 포스팅에서는

1. 삼각형의 여러가지 공식과,

2. 공식 유도 방법

 

에 대해 알아보았습니다.

 

특히 공식 2)는 가장 기본이 되는 식이며,

이 공식으로부터 다른 여러 공식들이 유도되므로 매우 중요한 공식입니다.

 

헤론의 공식이라 불리는 공식 3)의 경우, 공식을 외우려 하지 마시고

세 변의 길이가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 이해하기 바랍니다.

 

i) 세 변으로부터 나머지 한 각의 코사인값을 구하고(코사인 제 2법칙)

ii) 그 코사인값으로부터 사인값을 구한 뒤(제곱공식)

iii) 공식 2)에 대입하면 됩니다.

  

삼각형의 넓이는 도형에서 가장 기본입니다.

따라서 위 공식 유도 과정을 반드시 이해해서

다양한 방법으로 삼각형의 넓이를 구할 줄 알아야합니다.

 

 

수학을 잘 하기 위해서는 부지런히 생각하고 이해해야 합니다.

 

단순히 공식만 암기해서는 응용문제를 풀 수 없기 때문에 꼭 원리를 이해하도록 노력하시기 바랍니다.

 

수학 성적은 시간을 들인만큼 돌아오며, 이걸 게을리하면 나중에 감당할 수 없는 빚으로 다가올 수 있습니다.

 

꼭 명심하시기 바랍니다.