(수열)계차수열의 직관적 이해

(수열)계차수열의 직관적 이해

 

이 포스팅은 수열 중 특이한 계차수열의 직관적 이해에 관한 글 입니다.

 

계차수열은 수학1의 '여러가지 수열'파트에 등장하는 수열로, 그 적용범위가 매우 넓습니다.

이번 글에서는 계차수열 중 특이한 형태를 가지는 수열을 소개하고, 이를 직관적으로 이해하는 법을 함께 고민해보겠습니다.

 

 이 글이 필요한 학생은

1. 계차수열이 궁금한 학생

2. 계차수열에 대한 감이 부족한 학생

3. 수열을 좀 더 감각적으로 이해하고자하는 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

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계차수열이란? (계차수열의 정의)

어떤 수열의 각 항의 차가 다시 일정한 수열을 이룰 때, 그 수열을 계차수열이라고 명명합니다.

원래의 수열과 계차수열간의 관계를 점화식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

i) 계차수열의 일반항

 

계차수열의 일반항은 아래 공식으로 구할 수 있습니다.

 

ii) 계차수열의 예

다음과 같이 전개되는 수열의 일반항을 구해봅시다.

 

이 수열은 대표적인 계차수열로, 각 항의 차를 구해보면 일정한 규칙(수열)을 따릅니다.

 

이 때 bn을 an의 계차라고 하고, 이를 i)에서 소개한 공식에 대입하면 원래의 수열 an의 일반항을 구할 수 있습니다.

 

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계차 수열의 직관적 이해

 

다음과 같이 전개되는 다소 특이한 수열이 주어졌다고 합시다. 이제부터 이 수열의 일반항을 구할 것입니다.

 

i) 계차수열을 이용한 풀이

주어진 수열은 7이 n개로 이루어진 n자리수입니다.

처음 이 수열을 접한 학생이라면 수열이 계차수열임을 바로 파악하기 힘들 것입니다.

11배, 111배, 1111배, ... 만큼 커지는 이 수열을 바라보면서 자꾸 항들의 '비'만을 생각하다가 더 진행하지 못하는 경우가 태반인데요. 각 항들을 빼보면 수열이 계차수열임을 쉽게 파악할 수 있습니다.

 

 

계차를 이루는 수열 bn은 첫째항이 70, 공비가 10인 등비수열을 이룹니다. 이를 앞서 소개한 계차수열의 일반항 공식에 대입하면 an을 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

 

 

ii) 직관을 이용한 풀이

주어진 수열을 직관적으로 이해하면 복잡한 풀이 없이 바로 일반항을 구해낼 수 있습니다.

7, 77, 777, ...로 나아가는 수열을 생각하기에 앞서 다음 숫자들을 봅시다.

 

어릴 적 9, 99, 999, ... 이런 숫자들은 항상 뭔가 '부족하다'고 생각한 적이 있습니다.

9에서 1만 더 있으면 10이 되고,

99에서 1만 더 있으면 100이 되고,

999에서 1만 더 있으면 1000이 되는데, 그 1이 모자라서 10ⁿ 을 만들지 못해서 참 안타까웠었는데요.(?) 이러한 일련의 '쓸데없는 생각'들이 이 문제를 직관적으로 이해하는 데 많은 도움이 되더군요.

 

즉, 「수열 9, 99, 999, ....의 일반항은 10ⁿ-1 이다.」는 이 수열이 계차수열인지 뭔지 복잡하게 생각할 필요 없이 직관상 곧바로 얻어낼 수 있는 결과입니다.

한편, 주어진 수열은 9, 99, 999, ....의 각 항에 7/9를 곱해준 것에 다름아닙니다.

 

 

따라서, 원래 주어진 수열의 일반항은 앞서 직관을 통해 얻어낸 일반항에 7/9만 곱해주면 됩니다.

 

iii) 다른 수열에의 응용

앞서 소개한 직관을 이용한 풀이를 다른 수열에도 쉽게 적용할 수 있습니다.

 

이처럼 특정한 한 자리 숫자 a가 n개씩 연속되어 나오는 수열의 일반항은 a/9 x (10ⁿ-1)로 주어집니다.

이는 9, 99, 999, ... 라는 숫자들이 항상 10ⁿ에서 1만큼 모자란 수열이기 때문입니다.

이 항들에 각각 a/9를 곱해주면 「a, aa, aaa, ...」 를 얻을 수 있음은 너무도 자명한 사실이죠.

끝//

 

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이번 포스팅에서는

 

1. 계차수열의 소개 및 일반항 공식

2. 계차수열의 예

3. 계차수열로 파악하기 힘든 특이한 수열의 예

4. 그 수열을 직관적으로 이해하는 사고과정

 

을 소개했습니다.

 

숫자들이 규칙을 가지고 나열해나가는 수열. 이러한 수열을 직관적으로 해석하는 것보다 더 쉬운 풀이는 없습니다. 이는 수열의 극한, 무한급수를 다룰 때 특히 더 중요합니다.

 

어떤 문제를 무조건 수식적으로(공식으로) 해석하는 것은 바람직하지 않습니다. 어떤 '감'을 가지고 접근하는 게 때로는 더 나은 풀이가 될 수도 있습니다. 그러한 수학적 감각을 가지려면 수학에 대해 끊임없이 천착하려는 태도가 필요할 것입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.