함수의 여러가지 형태 - 증가,감소,일대일대응,오목,볼록,우함수,기함수,주기함수

함수의 여러가지 형태

- 증가,감소,일대일대응,오목,볼록,우함수,기함수,주기함수

 

이 포스팅은 함수의 여러가지 형태 - 증가함수, 감소함수, 일대일대응, 오목함수, 볼록함수, 우함수, 기함수, 주기함수 - 에 관한 글 입니다.

 
초등학교때부터 등장하는 함수의 개념은, 초중고 수학교육과정 전반에 걸쳐 하나의 큰 축을 담당합니다. 그만큼 함수라는 개념을 제대로 잡는 게 중요한데요.

이번 글에서는 그러한 함수의 여러 형태에 대해서 '수학적으로' 표현하는 법을 다뤄보겠습니다.

 
이 글이 필요한 학생은

1. 함수의 체계가 아직 덜 잡힌 학생

2. 함수의 여러 형태에 대해 개념정립이 덜 된 학생

3. 함수 자체를 잘 모르는 학생


입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

그럼 포스팅 시작합니다.

 

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함수의 여러 형태

 

함수에는 여러 형태가 존재합니다. 고등학교 수학 교과과정까지 배우는 함수의 형태는 제 사견으로 총 여덟가지의 유형으로 분류할 수 있습니다.

물론 더 많은 형태가 있을 수 있습니다만, 제가 여지껏 고교수학을 다루면서 보았던 가장 기본적인 함수 형태는 i) 증가함수, ii) 감소함수, iii) 일대일대응, iv) 오목함수, v) 볼록함수, vi) 우함수, vii) 기함수 viii) 주기함수 로 분류할 수 있었습니다.

지금부터는 이들의 형태가 수학적으로 어떻게 표현되는지를 정리해보겠습니다.

 

i) 증가함수 

 

증가함수는 말 그대로 함수가 증가하는 것을 뜻합니다.

 

증가함수는 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

즉, 독립변수(x)의 크기 순서가 함수값(y)의 크기 순서와 일치할 때 이를 증가함수라고 부릅니다.

주어진 식이 '증가함수'를 나타내는 표현식임을 알고있는 게 중요합니다.

 

ii) 감소함수 

감소함수는 말 그대로 함수가 감소하는 것을 뜻합니다.

 

감소함수는 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

 

즉, 독립변수(x)의 크기 순서가 함수값(y)의 크기 순서와 반대일 때 이를 감소함수라고 부릅니다.

역시 표현식을 기억해놓는게 중요합니다. 문제에서는 '감소함수'라는 용어를 사용하는 대신 위 식으로 표현하는 경우가 많기 때문입니다.

 

iii) 일대일대응

일대일대응(전단사함수)이란, 독립변수와 종속변수의 대응관계가 1:1로 이루어지는 경우를 뜻합니다. 

 

일대일대응을 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

(*참고 : 일대일대응은 치역과 공역이 같은 경우이며, 일대일함수는 치역과 공역이 다른 경우입니다.)

 

 

위 그림에서 왼쪽은 일대일대응이고, 오른쪽은 일대일대응이 아닙니다.

(왼쪽의 경우 독립변수(x)가 다르면 그에따른 함수값도 각각 다른 값을 가지는 데 반해, 오른쪽의 경우 다른 두 독립변수 x1, x2에 대해 함수값이 동일한 상황이 존재합니다.)

 

iv) 오목함수

오목함수란 함수의 형태가 아래로 볼록한 함수를 뜻합니다. 이 때 함수가 증가함수인지 감소함수인지는 중요하지 않습니다.

 

 

 

 

오목함수의 수학적표현은 다음과 같습니다.

함수가 오목하면 서로 다른 두 독립변수(x1, x2)의 산술평균의 함수값(f((x1+x2)/2)보다 서로 다른 두 종속변수(f(x1), f(x2))의 산술평균값((f(x1)+f(x2))/2)이 항상 클 수밖에 없습니다. (그림참고)

 

v) 볼록함수

볼록함수란 함수의 형태가 위로 볼록한 함수를 뜻합니다. 이 때 함수가 증가함수인지 감소함수인지는 중요하지 않습니다.

 

볼록함수의 수학적표현은 다음과 같습니다.

함수가 볼록하면 서로 다른 두 독립변수(x1, x2)의 산술평균의 함수값(f((x1+x2)/2)보다 서로 다른 두 종속변수(f(x1), f(x2))의 산술평균값((f(x1)+f(x2))/2)이 항상 작을 수밖에 없습니다. (그림참고)

vi) 우함수(偶函數, even function)

우함수란 함수의 형태가 y축에 대해 대칭인 함수를 말합니다.

우함수라는 이름이 붙여진 이유는 우(偶)가 '짝수'의 의미를 갖기 때문입니다. (짝수를 영어로 even number라고 표현하죠. even function이 번역되면서 우함수로 되었습니다.)

짝수 차수로 이뤄진 다항함수들 (y=x², y=x⁴, ...)은 y축에 대해 대칭인 포물선 형태를 가집니다. 뿐만아니라, 짝수 차수들의 합으로만 이뤄진 다항함수들은 모두 y축에 대해 대칭인 우함수로 분류될 수 있습니다. (y=x²-3x⁴+2, ...)

 

우함수의 수학적 의미는 다음과 같습니다.

절댓값은 같고 부호가 서로 다른 두 독립변수(+x, -x)에 대해 함수값이 같으면 그 함수를 우함수로 볼 수 있습니다.

우함수의 대표적인 예로 f(x)=cosx를 들 수 있습니다. 우함수의 정의에 따르면 cos(-x)=cosx 인데, 이 식은 삼각함수에서 상당히 유용하게 쓰이는 식이니 기억하시기 바랍니다.

 

vii) 기함수(奇函數, odd function)

기함수란 함수의 형태가 원점에 대해 대칭인 함수를 말합니다.

기함수라는 이름이 붙여진 이유는 기(奇)가 '홀수'의 의미를 갖기 때문입니다. (홀수를 영어로 odd number라고 표현하죠. odd function이 번역되면서 기함수로 되었습니다.)

홀수 차수로 이뤄진 다항함수들 (y=x, y=x³, ...)은 모두 원점에 대해 대칭인 형태를 지닙니다. 뿐만아니라, 홀수 차수들의 합으로만 이뤄진 다항함수들은 모두 원점에 대해 대칭인 기함수로 분류될 수 있습니다. (y=x-7x³, ...)

 

 

기함수의 수학적 의미는 다음과 같습니다.

절댓값은 같고 부호가 서로 다른 두 독립변수(+x, -x)에 대해 함수값 역시 절댓값은 같고 부호가 서로 다르게 설정되는 경우, 그 함수를 기함수로 볼 수 있습니다.

기함수의 대표적인 예로 f(x)=sinx와 f(x)=tanx를 들 수 있습니다. 기함수의 정의에 따르면 sin(-x)=-sinx, tan(-x)=-tanx 인데, 이 식들은 삼각함수에서 상당히 유용하게 쓰이는 식이니 기억하시기 바랍니다.

 

viii) 주기함수(periodic function)

주기함수란, 함수가 특정 주기를 가지고 계속해서 반복되는 것을 의미합니다.

 

 

주기함수는 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다.

함수가 일정한 주기(p)를 따라 계속 반복된다면 f(x), f(x±p), f(x±2p), ... 값이 모두 같을 것입니다(그림). 한편, 식에서 p는 주기를 이루는 최소의 양수입니다.

 

 

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여러 함수 형태의 미분과 적분

 

i) 증가함수

증가함수는 모든 점에서의 미분계수가 항상 0보다 크거나 같다는 성질이 있습니다.

 

여기서 중요한 건 등호의 여부입니다. 미분계수가 0이되는 지점(혹은 구간)이 있다하더라도, 함수가 전체적으로 증가하고있으면 그 지점도 '증가함수'에 포함시킬 수 있다는 의미입니다. (그림에서 x2)

(* 단, 역은 성립하지 않습니다.)

 

ii) 감소함수

감소함수는 모든 점에서의 미분계수가 항상 0보다 작거나 같다는 성질이 있습니다.

 

 

 

여기서 중요한 건 등호의 여부입니다. 미분계수가 0이되는 지점(혹은 구간)이 있다하더라도, 함수가 전체적으로 감소하고있으면 그 지점도 '감소함수'에 포함시킬 수 있다는 의미입니다. (그림에서 x2)

(* 단, 역은 성립하지 않습니다.)

 

iii) 오목함수

오목함수는 이차미분계수 f''(x)값이 항상 0보다 크다는 성질이 있습니다.

 

 

 

오목함수는 그림상 x가 증가함에따라 그래프의 기울기도 증가해야하기 때문에 (f'(x1)<f'(x2)), 도함수 f'(x)가 항상 증가하는 증가함수여야합니다. 어떤 함수가 증가함수려면 그 함수의 미분값이 항상 0보다 커야하는 성질이 있음을 상기한다면, 오목함수의 경우 도함수를 한번 더 미분한 이계도함수 f''(x)가 0보다 커야함은 어렵지않게 생각해볼 수 있습니다.

 

한편, 오목함수를 다음 정적분 관계로도 표현할 수 있습니다.

 

그림에서 직각사다리꼴의 넓이가 함수 아랫쪽 영역의 넓이(정적분)보다 항상 크거나 같습니다.

이처럼 오목함수의 여러 표현방식을 알아두는 게 중요합니다.

 

iv) 볼록함수

볼록함수는 이차미분계수 f''(x)값이 항상 0보다 작다는 성질이 있습니다.

 

 

 

볼록함수는 그림상 x가 증가함에따라 그래프의 기울기는 점점 감소해야하기 때문에 (f'(x1)>f'(x2)), 도함수 f'(x)가 항상 감소하는 감소함수여야합니다. 어떤 함수가 감소함수려면 그 함수의 미분값이 항상 0보다 작아야하는 성질이 있음을 상기한다면, 볼록함수의 경우 도함수를 한번 더 미분한 이계도함수 f''(x)가 0보다 작아야함은 어렵지않게 생각해볼 수 있습니다.

 

한편, 볼록함수를 다음 정적분 관계로도 표현할 수 있습니다.

 

 

 

그림에서 직각사다리꼴의 넓이가 함수 아랫쪽 영역의 넓이(정적분)보다 항상 작거나 같습니다.

이처럼 볼록함수의 여러 표현방식을 알아두는 게 중요합니다.

 

v) 우함수

우함수를 미분하면 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

세 번째 등식은 다름아닌 합성함수의 미분입니다. 미분할 때는 미분하려는 함수의 변수와 미분하는 미분변수가 일치해야합니다. (위에서는 그 변수가 '-x' 였습니다.) 합성함수의 미분이 궁금한 학생은 다음 링크를 참고하세요. 

 

 

 

우함수를 적분하면 아래 관계식을 얻을 수 있습니다.

증명은 적분 범위를 나누는 데에서부터 출발합니다. (아래)

우변의 첫번째 항에서 f(x)를 f(-x)로 바꾸고, t=-x라는 새로운 변수를 도입해 치환적분을 행합니다.

치환적분의 경우 변수의 범위와 미소량의 관계 설정이 중요합니다.

-a≤x≤0 → +a≤t≤0

t=-x → dt=-dx

이를 이용하면 준식을 아래와 같이 전개할 수 있고, 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

이처럼 우함수를 절댓값이 같으나 부호가 반대인 범위 [-a, +a] 에서 정적분하면 결과는 구간 [0, a]에서의 정적분값의 두 배가 됩니다. (그렇게 하는 이유는, 정적분의 범위가 0부터 시작하면 계산이 간편해지기 때문입니다.)

 

vi) 기함수

기함수를 미분하면 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

세 번째 등식은 다름아닌 합성함수의 미분입니다. 미분할 때는 미분하려는 함수의 변수와 미분하는 미분변수가 일치해야합니다. (위에서는 그 변수가 '-x' 였습니다.) 합성함수의 미분이 궁금한 학생은 다음 링크를 참고하세요. 

 

 

기함수를 적분하면 아래 관계식을 얻을 수 있습니다.

증명은 적분 범위를 나누는 데에서부터 출발합니다. (아래)

우변의 첫번째 항에서 f(x)를 -f(-x)로 바꾸고, t=-x라는 새로운 변수를 도입해 치환적분을 행합니다.

치환적분의 경우 변수의 범위와 미소량의 관계 설정이 중요합니다.

-a≤x≤0 → +a≤t≤0

t=-x → dt=-dx

이를 이용하면 준식을 아래와 같이 전개할 수 있고, 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

이처럼 기함수를 절댓값이 같으나 부호가 반대인 범위 [-a, +a] 에서 정적분하면 결과는 항상 0이 나옵니다. (이를 이용해 불필요한 계산과정을 획기적으로 줄일 수 있습니다.)

 

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정리

 

이번 포스팅에서는

 

1. 함수의 여러 형태에 대한 소개

2. 함수의 여러 형태를 수학적으로 표현하는 표현식들

3. 함수의 여러 형태의 미분및 그 증명

4. 함수의 여러 형태의 적분및 그 증명

 

 

에 대해 알아보았습니다.

 

수많은 함수의 형태를 일일이 기억하는 건 상당히 버거운 일입니다. 그러나 위 내용을 알고 문제에 접하는 것과 그 반대의 경우는 확연히 차이가 나겠죠.

제가 알려드린 내용을 스스로 공부하시어 함수의 여러 형태에 대해 감을 익히시기 바랍니다. 언젠가는 여러분의 수학실력을 기를수 있는 자양분이 될 것입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.