절댓값이 포함된 함수의 그래프

절댓값이 포함된 함수의 그래프

 

이 포스팅은 절댓값이 들어간 함수 그래프 그리는 법에 관한 글 입니다.

 

 

절댓값이 들어간 함수는 함수의 수많은 형태 중 하나로, 응용문제에 가끔 출제되곤합니다.

개념이 제대로 서지 않은 학생은 나올때마다 헷갈릴 수 있는 부분인데요.

이 부분에서 힘들어하는 학생들을 위해 정리 차원에서 글을 쓰게 됐습니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 절댓값이 포함된 함수를 제대로 해석할 줄 모르는 학생

2. 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 제대로 그리지 못하는 학생

3. 절댓값 자체를 잘 모르는 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

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절댓값이 포함된 함수의 종류

 

함수 y = f(x)의 그래프가 아래와 같다고 하면,

 

 

절댓값이 포함되는 함수는 크게 다음 네 가지로 분류할 수 있습니다.

i) y = lf(x)l 꼴

 

 

ii) y = f(lxl) 꼴

 

 

 

iii) lyl = f(x) 꼴

 

 

 

iv) lyl = f(lxl) 꼴

 

 

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그래프 모양 및 그 이유

 

절댓값에 관한 가장 기본적이며 '유일한' 풀이는 절댓값 안의 내용물의 '부호'를 가지고 판단하는 것입니다.

「절댓값 안의 값이 0보다 크면 그대로 나오고, 0보다 작으면 마이너스(-)를 달고 나온다」

이 내용만 숙지하고 있으면 절댓값에 관한 모든 문제를 해결할 수 있습니다.

 

i) y = lf(x)l 꼴

이 꼴은 절댓값이 포함된 함수 중에서 가장 많이 나오는 꼴입니다.

절댓값 안에 들어있는 게 (x에 관한 식인) f(x) 전체이므로, f(x)의 부호를 따져서 그래프를 잘 그려주면 됩니다.

위 식의 의미는 f(x)가 0보다 큰 부분은 그대로 남겨두고 0보다 작은 부분은 x축대칭시켜라는 의미입니다.

 

ㄱ. 먼저 y=f(x)를 그립니다. (절댓값 무시하고 y=f(x)만 그립니다. 즉, y=lx² +2xl가 있으면 y=x²+2x만 그립니다.)

ㄴ. 그렇게 그린 그래프에서 y=f(x)의 부호가 양(f(x)>0)인 부분, 즉 1사분면과 2사분면쪽에 있는 그래프는 그대로 둡니다. (y=+f(x))

ㄷ. 다음으로, y=f(x)의 부호가 음(f(x)<0)인 부분, 즉 3사분면과 4사분면쪽에 있는 그래프는 x축으로 대칭이동시켜줍니다. (y=-f(x). y대신에 -y가 들어갔기 때문에 x축대칭입니다. 고1때 나오는 대칭이동.)

위 과정을 적용하면 아래와같은 그림을 얻을 수 있습니다.

 

 

원래의 y=f(x) 그래프에서 f(x)가 0보다 작은 x축 아랫부분(3, 4사분면)쪽의 그래프가 x축을 기준으로 대칭이동됐습니다.(주황색)

 

ii) y = f(lxl) 꼴

이번에는 x에만 절댓값이 씌어졌기 때문에 x의 부호를 기준으로 절댓값을 벗겨낸 후 그래프를 그려주면 됩니다.

위 식의 의미는 x가 0보다 큰 부분은 그대로 남겨두고, 0보다 작은 부분은 y축대칭이동하라는 말입니다.

 

ㄱ. 먼저 y=f(x)를 그립니다. (절댓값 무시하고 y=f(x)만 그립니다. 즉, y=lxl²+2lxl+3 이 있으면 y=x²+2x+3만 그립니다.)

*참고:x²과 lxl²은 같은 의미입니다. 식이 y=x²+2lxl+3으로 주어졌다 하더라도 식을 y=f(lxl) 꼴로 볼 줄 알아야 합니다.

ㄴ. 그렇게 그린 그래프에서 x의 부호가 양(x>0)인 부분, 즉 1사분면과 4사분면쪽에 있는 그래프는 그대로 둡니다. (y=f(+x))

ㄷ. 다음으로, x의 부호가 음(x<0)인 부분, 즉 2사분면과 3사분면쪽에 있는 그래프는 y축으로 대칭이동시켜줍니다. (y=f(-x). x대신에 -x가 들어갔기 때문에 y축대칭입니다. 고1때 나오는 대칭이동.)

위 과정을 적용하면 아래와같은 그림을 얻을 수 있습니다.

원래의 y=f(x) 그래프에서 x가 0보다 작은 y축 왼쪽부분(2, 3사분면)쪽의 그래프가 y축을 기준으로 대칭이동됐습니다.(주황색)

 

iii) lyl = f(x) 꼴

y에만 절댓값이 씌어졌기 때문에 y의 부호를 기준으로 절댓값을 벗겨낸 후 그래프를 그려주면 됩니다.

 

위 식의 의미는 y가 0보다 큰 부분은 그대로 남겨두고, 0보다 작은 부분은 원래의 그래프에서 x축대칭이동하라는 말입니다.

 

ㄱ. 먼저 y=f(x)를 그립니다. (절댓값 무시하고 y=f(x)만 그립니다. 즉, lyl=x²+2x+3 이 있으면 y=x²+2x+3만 그립니다.)

ㄴ. 그렇게 그린 그래프에서 y의 부호가 양(y>0)인 부분, 즉 1사분면과 2사분면쪽에 있는 그래프는 그대로 둡니다. (y=+f(x))

ㄷ. 다음으로, y의 부호가 음(y<0)인 부분, 즉 3사분면과 4사분면쪽에 있는 그래프는 원래의 f(x)에서 x축으로 대칭이동시켜줍니다. (y=-f(x). y대신에 -y가 들어갔기 때문에 x축대칭입니다. 고1때 나오는 대칭이동.)

위 과정을 적용하면 아래와같은 그림을 얻을 수 있습니다.

 

원래의 y=f(x) 그래프에서 y가 0보다 작은 부분(3, 4사분면)쪽의 그래프가 원래의 f(x)에서 x축대칭이동됐습니다.(주황색)

* i)에서 소개한 y=lf(x)l와 과정이 약간 다름에 주목하세요.

  

iv) lyl = f(lxl) 꼴

이 경우는 x, y 둘 다 절댓값이 씌어졌기 때문에 두 변수의 부호를 모두 따져줘야합니다.

 

위 식의 의미는 x, y가 0보다 큰 부분(1사분면)은 그대로 남겨두고, x<0, y>0인 부분(2사분면)은 y축대칭, x>0, y<0인 부분(4사분면)은 x축대칭, x<0, y<0인 부분(3사분면)은 원점대칭하라는 말입니다.

 

ㄱ. 먼저 y=f(x)를 그립니다. (절댓값 무시하고 y=f(x)만 그립니다. 즉, lyl=-lxl+1 이 있으면 y=-x+1 만 그립니다.)

ㄴ. 그렇게 그린 그래프에서 x, y의 부호가 양(x>0, y>0)인 부분, 즉 1사분면쪽 그래프는 그대로 둡니다. (y=+f(+x))

ㄷ. 다음으로, x<0, y>0인 부분, 즉 2사분면쪽에 있는 그래프는 원래의 f(x)에서 y축으로 대칭이동시켜줍니다. (y=+f(-x). x대신에 -x가 들어갔기 때문에 x축대칭입니다. 고1때 나오는 대칭이동.)

ㄹ. 다음으로, x>0, y<0인 부분, 즉 4사분면쪽에 있는 그래프는 원래의 f(x)에서 x축으로 대칭이동시켜줍니다.(y=-f(+x). x대신에 -x가 들어갔기 때문에 y축대칭입니다. 고1때 나오는 대칭이동.)

ㅁ. 끝으로, x<0, y<0인 부분, 즉 3사분면쪽에 있는 그래프는 원래의 f(x)에서 원점 대칭이동시켜줍니다.(y=-f(-x). x대신에 -x, y대신에 -y가 들어갔기 때문에 원점대칭입니다. 고1때 나오는 대칭이동.)

위 과정을 적용하면 아래와같은 그림을 얻을 수 있습니다.

 

원래의 y=f(x) 그래프에서 1사분면쪽(x>0, y>0)만 그대로 두고 나머지 사분면들은 적절히 대칭이동된 모습입니다.(주황색)

 

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정리

 

이번 포스팅에서는

 

1. 절댓값이 포함된 함수의 분류 및

2. 각각의 경우에 따라 함수 그래프 그리는 법

 

 

을 살펴보았습니다.

 

절댓값이 포함된 함수는 절댓값을 푸는 원리만 알면 정말 쉽게 해결할 수 있는 부분입니다.

문제는 학생들이 그래프 그리는 스킬만 외우려고하지, 원리를 따져가며 공부하지 않는다는 점입니다. 그렇게 임시방편으로 얻은 얕은 지식으로는 아무것도 할 수 없음은 자명합니다.

 

임의로 '분류'라는 걸 통해 절댓값이 포함된 함수 그래프 그리는 법을 설명해드렸으나, 사실 그런 류의 설명은 별로 좋지 않습니다. 제 의견으로는 수학에서 유형별 분류는 무의미하기 때문입니다.

따라서 이 포스팅에서는 일반적인 함수 y=f(x)를 도입함으로써 여러분이 더 생각할 수 있는 가능성을 열어뒀습니다. 여기서 단순히 외우는 것에 그치지 말고 꼭 실제 예제로 따로 연습하시기 바랍니다.

 

실제로 나올 수 있는 절댓값이 포함된 여러 종류의 함수들(이를테면 y=logl3xl, y=lsinxl 등..)은 절댓값을 푸는 원리로 접근하면 됩니다.

 

 

제 글이 많은 학생에게 도움이 됐으면 합니다.