원 관련 공식 정리 및 유도(원의 내접, 원의 외접, 원의 접선, 원주각, 원의 할선)

원 관련 공식 정리 및 유도

- 원의 내접, 원의 외접, 원의 접선, 원주각, 원의 할선

 

 

이 포스팅은 원에 관한 여러 공식을 정리하고 그 유도 과정을 담은 글 입니다.

 

원은 평면도형에서 가장 기본이 되는 도형으로,

초등학교때부터 중학교 과정을 거쳐 고등학교까지 지속적으로 나옵니다.

그만큼 원의 중요도 및 출제빈도수는 무시할 수 없는데요.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 중학교때 원을 소홀히 한 학생

2. 원에 관한 공식이 궁금한 학생

3. 원 관련 공식 정리가 필요한 학생

4. 원 관련 공식 유도 과정이 궁금한 학생

5. 그 외 도형에 자신이 없는 학생

입니다.

 

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원 관련 공식

 

1) 두 원의 외접과 내접

두 원 O, O' 에 대하여 반지름의 길이를 각각 r, r', 중심 사이의 거리를 d라 할 때,

원의 외접 : r + r' = d

원의 내접 : r - r' = d

 

 

2) 두 원의 공통외접선과 공통내접선

 

 

 

위 그림에서 두 원이 한 직선에서 접하되 같은 방향에서 접할 때 접선을 공통외접선 이라 하고,

아래 수식이 성립합니다.

위 수식은 보조선을 그었을 때 생기는 내부의 삼각형이 직각삼각형이기 때문에

피타고라스 정리가 적용된 결과입니다.

 

 

 

 

 

 

 

위 그림에서 두 원이 한 직선에서 접하되 다른 방향에서 접할 때 접선을 공통내접선 이라 하고,

아래 수식이 성립합니다.

위 수식은 보조선을 그었을 때 생기는 외부의 삼각형이 직각삼각형이기 때문에 피타고라스 정리가 적용된 결과입니다.

 

 

3) 원주각

 

 

위 그림처럼 호 AB 외부의 원 위의 한 점 P를 잡았을 때 ∠APB를 호 AB의 원주각이라고 합니다.

원주각의 성질은 다음 세가지로 요약할 수 있습니다.

 

-원주각의 크기는 호의 중심각의 반이다. (∠APB=1/2∠AOB)

-한 원에서 같은 호의 원주각은 모두 같다. (즉, P를 원 위에서 아무렇게나 움직여도(단, 호 AB 외부에 위치해야함) ∠APB의 크기는 일정하다.)

-반원의 원주각은 90˚ 이다.

 

 

 

4) 원의 접선과 현이 이루는 각

 

위 그림처럼 점 A에서 그은 원의 접선과 현 AB가 이루는 각은 호 AB의 원주각과 크기가 같습니다.

 

 

5) 원의 접선과 할선

 

 

위와 같이 원의 한 접점 T로부터 그은 접선 위의 한 점 P에서 원을 분할하는 직선을 그었을 때, 그 직선을 할선이라고 하고, 할선이 원과 만나는 두 점을 각각 A, B라고 할 때 다음 관계가 성립합니다.

 

 

 

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공식 유도

 

공식 1)과 공식 2)는 소개 과정에서 그림을 통해 설명했으니 생략하겠습니다.

 

3) 원주각

i) 원주각의 크기는 호의 중심각의 크기의 반이다.

먼저, 원주각이 왜 중심각의 반이 되는 지를 증명하겠습니다.

아래 그림처럼 중심 O에서 P에 직선을 그어보겠습니다.

(지금부터 보조선은 모두 주황색으로 표시하겠습니다.)

 

P는 원 위의 한 점이므로, 중심으로부터의 P의 거리가 곧 반지름이 됩니다.

이 때 호 AB를 이루는 점 A와 B 역시 원 위의 한점이기 때문에 중심으로부터 이 점들까지의 거리는 모두 반지름으로 동일합니다.

 

따라서, 위 그림에서 삼각형 AOP와 삼각형 AOB는 두 변의 길이가 같은 이등변삼각형입니다. 이등변 삼각형의 두 아랫각의 크기는 같으므로, 다음 관계가 성립합니다.

 

이를 그림으로 정리하면 아래와 같습니다.

 

 

그림을 보면 원주각을 ∠APB = o + x 로 표현할 수 있습니다.

이제 PO의 연장선을 그어 연장선과 원이 만나는 점을 Q라 둡시다. (아래 그림)

 

위 그림에서 ∠AOQ는 삼각형 AOP의 한 외각으로, 두 각 ∠OAP와 ∠OPA의 합입니다.

∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = o + o = 2 o

마찬가지로, ∠BOQ는 삼각형 BOP의 한 외각으로, 두 각 ∠OBP와 ∠OPB의 합입니다.

∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = x + x = 2x

 

 

 

 

따라서,  중심각은 ∠AOB = 2 ( o + x ) 로 표현할 수 있습니다.

그런데 위에서 원주각이 ∠APB = o + x 였으므로, 원주각은 중심각의 반이 됩니다.

 

ii) 같은 호의 원주각은 그 크기가 모두 같다.

앞에서 점 P를 잡을 때 임의의 위치에서 잡았으므로, 점 P가 호 AB 바깥쪽에 있는 한, 위 공식은 성립합니다.

(P가 움직임에 따라 각 o와 x의 크기는 바뀝니다만, ∠APB = o + x , ∠AOB = 2 ( o + x ) 라는 사실은 변하지 않죠.)

 

따라서 한 원 위에서 같은 호의 원주각의 크기는 모두 같습니다.

 

iii) 반원의 원주각은 직각이다.

반원이란, 중심각의 크기가 180˚인 호입니다.

중심각의 크기가 180˚ 이므로, 이 호의 원주각은 그 절반인 90˚가 됩니다.

 

 

 

 

4) 원의 접선과 현이 이루는 각

원 위의 한 점 A에서 접선을 긋고, 접선 위의 다른 한 점을 T, 호 AB의 원주각 ∠APB를 임의로 동그라미 각(o)으로 둡시다. (원주각이 o이므로 중심각은 그 두 배인 2o 이 됩니다. 우리는 지금부터 ∠BAT 역시 동그라미각(o)이 됨을 증명할 것입니다.

 

 

 

 

중심 O에서 A, B에 각각 선분을 그으면 OA와 OB의 길이는 반지름 r로 서로 같습니다.

따라서 삼각형 OAB는 이등변삼각형입니다.

특히 점 A는 원의 접점이기 때문에, OA는 접선 AT와 수직을 이룹니다.

 

 

이제 이등변삼각형 OAB의 꼭지점 O에서 밑변 AB에 수선을 긋고 수선의 발을 C라 둡시다.

이등변삼각형의 밑변의 수직이등분선은 꼭지점을 지나는 성질이 있습니다.

 

 

 

따라서, 이 때 생기는 두 삼각형 OAC와 OBC는 서로 합동이고, ∠AOC와 ∠BOC는 중심각(2o)의 반인 o각이 됩니다. (위 그림)

삼각형 OAC는 직각삼각형으로, ∠OAC는 90˚에서 동그라미각(o)을 뺀 각입니다. 이 각을 임의로 x각이라 둡시다.

즉, o + x = 90˚ 가 됩니다.

그런데, 90˚인 ∠OAT를 잘 보면, ∠OAC와 ∠CAT의 합임을 알 수 있습니다.

∠OAT = ∠OAC + ∠CAT

90˚ = x + ∠CAT

∴ ∠CAT = 90˚ - x = o

 

 

 

 

따라서, 원의 접선과 현이 이루는 각은 그 현을 현으로 갖는 호 AB의 원주각과 크기가 같습니다.

 

 

 

 

5) 원의 접선과 할선

아래와 같이 보조선(주황색 선)을 그어봅시다.

그러면 위에서 증명한 "원의 접선과 현이 이루는 각의 크기 = 원주각의 크기" 를 적용할 수 있습니다.

 

 

삼각형 PAT와 삼각형 PBT는 닮음입니다. (∠P를 공유하고 두 각(동그라미 각)이 동일하므로 AA 닮음)

닮은 삼각형에서는 닮음비가 성립합니다.

 

작은삼각형 PAT 에서 두 각 x-o 를 포함하는 선분은 PT 입니다.

큰 삼각형 PBT에서 두 각 x-o를 포함하는 선분은 PB 입니다.

 

작은삼각형 PAT 에서 두 각 x-나머지각 을 포함하는 선분은 PA 입니다.

큰 삼각형 PBT에서 두 각 x-나머지각을 포함하는 선분은 PT 입니다.

 

따라서 다음 비례식을 세울 수 있습니다.

 

유도완료//

 

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정리

 

이번 포스팅에서는

원의 몇가지 공식 을 다뤄봤습니다.

 

-원의 내접과 외접

-원의 공통내접선과 공통외접선

-원의 접선과 현이 이루는 각

-원의 접선과 할선

 

이 내용은 모두 중학교 때 나오는 공식으로, 유도과정이 그리 복잡하지 않기 때문에 한 번 쯤은 직접 유도해볼만한 것들입니다.

 

설령 정확한 공식이 기억이 나지 않는다 하더라도, 곧바로 공식을 유도해서 써먹을 수 있을 것입니다. 따라서 반드시 직접 위 공식들을 유도해보시기 바랍니다.

 

직접 해 본 학생과 그러지 않고 대충 눈대중으로만 익힌 학생의 격차는 상당히 큽니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.