삼각형의 닮음비, 넓이비, 밑변의 비

삼각형의 닮음비, 넓이비, 밑변의 비

- 개념, 정리, 적용

 

 

이 포스팅은 삼각형의 넓이의 비-닮음비와 밑변의 비의 관계에 관해 정리하는 글 입니다.

 

두 삼각형의 넓이의 비를 구하는 게 중요할 때가 있습니다. 삼각형의 넓이는 수많은 기하 주제 중 가장 기본적인 것으로서, 최대한 다각도로 생각해봐야할 문제입니다. 또한 기본을 잘 배워놓으면 응용문제에 적용할 때 개념을 잘 활용할 수 있으므로, 도형을 다루는 학생들이라면 삼각형의 넓이를 이해하는 게 반드시 선행되어야 한다고 생각합니다.

 

이 글에선 삼각형의 넓이 비, 특히 닮음비와 밑변의 비의 차이로부터 발생하는 차이점을 짚고 관련 문제를 소개하고 풀이하며 개념을 적용해보겠습니다.

 

이 글이 필요한 학생은

 

1. 삼각형의 넓이의 비에 대해 공부하고자 하는 학생

 

2. 닮음비와 밑변의 비로부터 발생하는 삼각형 넓이의 비의 차이점에 대해 궁금한 학생

 

 

3. 기타 삼각형을 잘 다루지 못하는 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

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2. 삼각형의

삼각형의 넓이의 비

 

넓이의 비    

 

삼각형의 넓이의 비를 구하는 방법으로는 상황에 따라 여러가지가 있을 수 있겠으나 크게 두 가지- i) 닮음비, ii) 밑변의 비로 요약할 수 있습니다.

 

i) 닮음비

두 삼각형이 닮음일 때, 그들의 대응변의 길이의 비를 '닮음비'라고 합니다. 두 도형의 닮음비를 그들의 길이의 비라고도 합니다.

 

 

 

위 그림에서 a와 a', b와 b', c와 c'를 닮은삼각형에서의 대응되는 변이라고하며, 이들의 비가 m:n 일 때 닮음비는 m:n 이라고 합니다. 닮음비가 m:n인 삼각형의 넓이의 비는 그들의 제곱인 m² : n² 이 됩니다. 편의상 증명은 생략합니다.

 

ii) 밑변의 비

밑변이 고정되어있고 꼭짓점이 밑변과 평행한 직선 위에 있는 삼각형들의 넓이는 모두 동일합니다.

위 그림에서 세 삼각형의 밑변은 a, 높이는 h로 모두 같으므로, 이들의 넓이는 S=(1/2)*a*h로 동일합니다. 이로부터 만약 두 삼각형의 높이가 동일하다면 그들의 밑변의 비가 곧 넓이의 비가 된다는 사실을 유추해낼 수 있습니다.

위 그림처럼, 높이가 같은 삼각형은 두 밑변의 비인 m : n이 곧 넓이의 비가 됩니다. 닮음비와 다르게 길이의 비가 그대로 넓이의 비가 됨에 주목하세요.

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개념 적용

 

<문제>

아래 그림처럼 삼각형 ABC의 내심 I를 지나고 변 BC와 평행하는 직선을 생각하자. 각 변의 길이는 그림에 표시한 바와 같을 때, 이로부터 변 BC의 길이를 구하라.

 

* 풀이를 보기 전에 어떻게 풀어야 할 지 한 번 생각해보세요.

 

<풀이>

이 문제는 삼각형의 여러 성질을 알아보고 연습해 볼 수 있는 좋은 문제입니다. 저는 몇 번의 고민과 시도 끝에, 넓이의 비를 가지고 문제에 접근하면 될 것 같다는 확신이 섰습니다.

 

i) 삼각형 ADE와 삼각형 ABC

먼저 삼각형 ADE와 ABC의 넓이의 비를 구해봅시다. 선분 DE와 BC가 평행하기 때문에 삼각형 ADE와 ABC는 ∠D=∠B(동위각), ∠E=∠C(동위각) 이며, ∠A가 공통인 AA닮음 입니다. 따라서 이들의 닮음비는 두 길이의 비인 AE:AC = 8:12 = 2:3 이 됩니다. (이 관계가 AD와 AB에도 성립해야하므로, AD:AB=2:3, 즉, AB=9를 얻을 수 있습니다.)

 

닮음비가 2:3이기 때문에 이 두 삼각형의 넓이의 비는 4:9가 됩니다. 만약 전체 삼각형 ABC의 넓이를 S라고 두면, 삼각형 ADE의 넓이는 (4/9)S가 됩니다.

 

ii) 삼각형 ADI와 삼각형 AEI.

다음으로 삼각형 ADI와 AEI의 넓이를 S로 나타내봅시다. 그러기위해선 DI와 EI의 길이의 비를 알아야합니다. 점 I는 삼각형의 내심이기 때문에 내심의 성질을 이용해야합니다. 

 

내심을 작도하는 방법은, 세 내각의 이등분선의 교점을 찾는 것입니다. 즉 ∠A와 ∠B, ∠C를 이등분하는 선이 한 점에서 만나는데 이 점이 바로 내심 I가 됩니다. 이 세 이등분선 중 ∠A의 이등분선에 주목해봅시다.

 

한편, 각의 이등분선 관련 공식이 있습니다. 위 그림의 삼각형 ADE에서, 비례식 AD:AE=DI:EI 가 성립합니다. (각의 이등분선 관련 공식이 궁금한 학생은 다음 링크를 참고하세요.)

 

 

 

두 삼각형 ADI와 AEI의 높이가 같으므로 이들의 넓이의 비는 밑변인 DI와 EI의 비인 3:4가 됩니다. 따라서 삼각형 ADE의 넓이인 4/9S 중 3/7은 삼각형 ADI, 7/4는 삼각형 AEI가 됩니다.

 

iii) 삼각형 BDI와 삼각형 CEI.

위 그림에서 삼각형 ABI를 봅시다. (점 B와 점 I는 아직 연결하지 않았지만 가상의 선분을 생각해서 보세요.) 삼각형 ABI는 두 삼각형 ADI와 BDI로 이루어져있는데, 이들의 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비와 일치합니다. 밑변의 비는 6:9, 즉 2:3이 됩니다. 이 말은 전체 삼각형 ABI에서 2/3에 해당하는 게 ADI라는 뜻입니다.

 

그런데 ADI가 4/21S로 주어져있으므로 삼각형 ABI의 넓이를 구할 수 있습니다. 이렇게 구한 ABI의 넓이에서 삼각형 ADI의 넓이를 빼면 삼각형 BDI의 넓이 또한 S로 나타낼 수 있습니다.

 

마찬가지 방법으로 삼각형 ACI에서 그 일부분인 삼각형 CEI의 넓이를 구할 수 있습니다.

 

iii) 삼각형 ABI, ACI, BCI.

종합하면, 삼각형 ABI의 넓이는 ADI와 BDI의 합인 6/21S, 삼각형 ACI의 넓이는 AEI와 CEI의 합인 8/21S, 삼각형 BCI의 넓이는 전체 삼각형 ABC의 넓이에서 두 삼각형 ABI와 ACI의 넓이를 뺀 7/21S 입니다.

 

이를 그림으로 간단히 표현하면 아래처럼 됩니다.

 

iv) 변 BC 구하기.

내심 I의 성질로부터 변 BC를 구해봅시다. 내심 I는 내접원의 중심으로, 다음 공식이 성립합니다.

여기서 a, b, c는 각각 삼각형의 각 변을, r은 반지름, S는 전체 넓이를 뜻합니다. 이 식은 삼각형의 전체 넓이는 내심으로부터 분할되는 세 삼각형의 넓이의 합임을 나타내는 식입니다. 분할된 세 삼각형의 높이는 r로 일치하며, 밑변이 각각 a, b, c이기 때문에 이들의 넓이는 각각 1/2ar, 1/2br, 1/2cr 로 구할 수 있습니다.

 

분할된 내부의 세 삼각형의 넓이의 비는 (높이가 r로 같기 때문에) 그들의 밑변의 비인 a:b:c가 됩니다.

이 사실을 문제에 적용해보면, 현재 얻어진 삼각형의 넓이인 6/21S, 8/21S, 7/21S 의 비는 밑변인 AB:BC:CB의 비와 일치합니다.

 

//풀이 끝

 

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정리

 

이번 포스팅에서는

1. 삼각형의 닮음비와 넓이의 비

2. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비

3. 문제에의 응용

에 대해 살펴보았습니다. 

 

앞서 언급했다시피, 삼각형의 넓이는 기하를 다룰 때 가장 기본이 되는 부분입니다. 한편, 문제에 적용했던 내심의 성질, 각의 이등분선의 성질 또한 문제를 해결함에 있어서 중요한 역할을 했습니다. 소개했던 문제는 사실 중학교 문제입니다만, 삼각형에 대해서 식을 적용하는 방법을 다각도로 접근할 수 있는 좋은 예였기에 이렇게 따로 소개했습니다.

 

개념을 정확히 익히고 적용하는 과정에서 수학 실력이 는다고 생각합니다. 혹시 자신이 애매한 부분은 그냥 넘어가진 않는 지, 논리적 비약을 사용해서 문제를 풀진 않는 지 되돌아보고, 되도록이면 그 습관을 바로잡아 정확한 논리로 수식을 전개해 나가는 습관을 들이시기 바랍니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.