가우스 함수(가우스 기호)

가우스 함수 (가우스 기호)

 

이 포스팅은 가우스 함수(가우스 기호)에 관한 글 입니다.

 

가우스 함수는 교과과정에는 나오지 않으나 문제에 정의와 함께 종종 등장하는 함수입니다. 이 가우스함수는 실제 문제에 응용되기 쉬워 시험에서 실질적인 득점과 연결되기 때문에 반드시 알아둬야 하는 테마입니다. 이 글에서는 가우스 함수의 정의부터 응용까지 찬찬히 살펴볼 것입니다.

 

이 글이 필요한 학생은

 

1. 가우스 함수(가우스 기호)의 정의 및 성질이 궁금한 학생

 

2. 가우스 함수(가우스 기호)가 적용된 문제를 해결함에 있어 어려움이 따르는 학생

 

 

3. 가우스 함수(가우스 기호)를 접근하는 방법론을 배우고자 하는 학생

 

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

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가우스 함수 

 

i) 가우스 함수(가우스 기호)의 정의 및 그 예

 

가우스 함수는 "x보다 크지 않은 최대 정수"로 정의되며, 기호로는 [x]로 표현합니다.

여기서 크지 않다는 말은 작거나 같다는 말과 동일합니다.

 

예를 들어 [0.2]는 0.2보다 작거나 같은 최대 정수가 됩니다. 0.2보다 작거나 같은 최대 정수는 바로 0이죠. 한편, [1.99]를 생각해보면 1.99보다 작거나 같은 최대정수인 1이 나옵니다. 이처럼, 가우스 함수에 정수가 아닌 양수가 들어가면 소수점 이하를 제외한 정수부분만 남습니다.

[2010]은 어떨까요? 2010보다 작거나 "같은" 최대 정수이므로 2010 자기 자신이 나옵니다. 가우스 함수에 정수가 들어가면 자기 자신을 환원시킵니다. 원래의 정의 "x보다 크지 않은"으로 생각하면 헷갈리기 쉬우니, 필히 이를 '작거나 같은'으로 해석하시기 바랍니다.

한편, [-2.1]을 생각해보면, -2.1보다 작거나 같은 최대정수인 -3이 나옵니다. 이처럼 가우스 함수에 정수가 아닌 음수를 넣으면 절댓값은 자신보다 크나 실제 값은 작은, 한 단계 아래의 정수가 나옵니다.

이를 정리해서 쓰면 아래와 같습니다.

 

[0.2] = 0

[1.99] = 1

[2010] = 2010

[-2.1] = -3

 

가우스 함수에서 중요한 건 어떤 실수든 가우스를 씌운 결과값은 "정수"라는 사실입니다(위 식들의 우변). 가우스 함수의 정의 자체가 '~인 정수'로 되어있기 때문인데요. 이런 기본적인 개념 관계를 염두에 두지 않으면 후에 문제를 적용하는 데 헷갈릴 소지가 있습니다.

ii) 가우스 기호가 포함된 방정식, 부등식

위에서 소개한것처럼, 가우스 함수에 '특정 값'을 넣어봄으로써 가우스 기호가 어떤 역할을 하는 지 대강의 감을 잡을 수 있었습니다. 그러나 실제 문제에서는 가우스 기호에 들어가는 값으로 실제 '숫자'가 아닌 '미지수'로 주어집니다. ([0.2]를 구하라는 등의 문제가 나올 리 만무하겠죠.)

이를테면 이런 문제입니다.

 

[x] = 5 를 만족하는 x의 범위를 구하라.

 

가우스 기호 안에 미지수 x가 들어가있고, 우변에는 5라는 '정수'가 있습니다. (아까 언급했던, 가우스 함수의 반환값은 정수라는 것을 기억하세요. 예를들면 [x] = 5.1을 만족하는 x는 존재하지 않습니다.) 이처럼 가우스 안에 미지수가 들어있는 방정식이 가우스 함수가 가장 많이 응용되는 꼴입니다. [x]=5를 만족하는 x는 어떤 것들이 있을까요? x=5.0 부터 시작해서 5.1, 5.2, ....5.9, 5.99, 5.999, ... 등의 수가 있을 것입니다. 이를 범위로 나타내면 「5≤x<6」가 됩니다.

일반적으로 [x] = n 을 만족시키는 x의 범위는 n≤x<n+1 로 주어집니다.

 

*첨언

이를 역으로 말하면, 가우스 기호 안에 미지수가 들어가있으면 이를 푸는 방법으로 가우스 기호 '안'에 있는 값의 범위를 정해서 생각하면 됩니다. 이는 마치 절댓값 기호를 벗겨내는 방법과 같습니다. 절댓값 기호를 뗄 때 절댓값 '안'의 값이 0보다 작냐, 크냐를 가지고 마이너스(-)부호를 달고나오느냐, 그대로 나오느냐를 따집니다. 가우스 기호가 있으면 (절댓값을 벗겨내듯이) 가우스 기호를 어떻게든 없애버려야 합니다. 그러한 기준으로 위 내용을 적용하여 범위를 설정해주면 됩니다. 한편, 가우스 기호는 그 자체가 정수를 의미한다고 했으므로, 기호 안쪽에 있는 값의 범위 (n≤x<n+1) 에서 등호가 들어간 왼쪽 끝의 정수 n으로 빠져나올 것입니다.

 

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가우스 함수의 응용

 

i) y = [x] 그래프

가우스 함수 y=[x] 의그래프 그리는 법을 알면 유용할 때가 있습니다. 이 '방법'을 익혀놓으면 비단 y=[x] 뿐만 아니라, y=[x²], y=[logx], y=[2sinx] 등의 응용된 그래프도 그려낼 수 있습니다.

그리는 방법은 앞에서 소개한 내용을 적용하면 됩니다.

 

 n≤x<n+1 → [x]=n

 

즉, 가우스 기호 내부의 변수 x의 범위를 나눠서 그래프를 그려주면 됩니다. 편의상 x=-3부터 x=+3까지만 생각해보겠습니다.

 

-3≤x<-2 → y=-3

-2x<-1 → y=-2

-1≤x<0 → y=-1

0≤x<1 → y=0

1≤x<2 → y=1

2≤x<3 → y=2

 

이를 그래프로 그려보면 다음과 같은 계단 형태의 그래프를 얻습니다.

 

 

 

ii) y = x-[x] 그래프

y=x-[x] 의 그래프도 마찬가지로 '가우스 기호를 벗겨 정수로 환원한다'는 개념으로 접근하면 됩니다.

 

-3≤x<-2 → [x]=-3 → y=x+3

-2x<-1 → [x]=-2 → y=x+2

-1≤x<0 → [x]=-1 → y=x+1

0≤x<1 → [x]=0 → y=x

1≤x<2 → [x]=1 → y=x-1

2≤x<3 → [x]=2 → y=x-2

 

그래프를 그려보면 아래와 같이 톱니모양의 그래프를 얻습니다.

 

 

 

*첨언

한편, x-[x]의 의미는 'x의 소수부분' 이라는 의미입니다. 원래의 수 x에서 정수부분 [x]를 뺐기 때문에 x의 소수점 이하 부분만 남습니다. (예를들어 x=3.14일 때, x-[x]를 구해보면 3.14-3=0.14 가 남죠.) 이러한 가우스 기호의 성질은 상용로그에선 지표, 가수와 관련됩니다. 즉, [logx]는 logx의 지표(정수부분), logx-[logx]는 가수(소수부분)가 됩니다.

 

iii) 방정식

가우스 기호가 들어있는 방정식은 실제 문제와도 직결되기 때문에 반드시 그 접근법을 알아야 합니다. 방정식에 있는 가우스 기호 역시 '정수로 환원한다'는 원리를 따르되, 가우스 기호의 특징을 잘 생각해서 접근하면 됩니다. 다음 문제를 생각해봅시다.

 

2x + [2x+1] = 3.5 의 근을 구하라.

 

가우스 기호로 덮여있는 항 [2x+1]은 '정수'입니다. 그런데 가우스 기호 속의 항 2x+1 은 미지의 수 2x에 정수 1을 더한 항이군요. 우리는 2x의 값 자체는 알지 못하나, 여기에 1을 더해 가우스값을 씌우면 [2x]에 1을 더한 것과 같은 효과를 낼 것이라고 짐작할 수 있습니다.

 

[2x+1] = [2x] + 1

 

왜냐하면, [2x+1]이란 2x+1 보다 작은 최대정수를 의미하는데, 이는 2x+1보다 작은 최대정수를 한번에 구하나, 2x보다 작은 최대정수에 1을 따로 더해서 구하나 그 결과는 같을 것이기 때문입니다. 예를 들어, 1.1의 가우스값 [1.1]을 정수 1로 환원할 때 곧바로 [1.1]을 풀어도 되나, 이를 1+[0.1]로 보고 따로 따로 구해도 상관없습니다. [4.73]의 경우도 마찬가지입니다. 이를 하나의 숫자로 보고 4로 얻을수도 있으나, 가우스 기호의 '정수와 관련한 구조'를 파악해서 [3.73]+1, 즉 3+1=4 로 풀어내도 상관없다는 뜻입니다. 이로써 가우스 기호의 또다른 성질을 유추해낼 수 있습니다.

 

[x+n] = [x]+n

 

가우스 기호 내부에 명료한(explicit) '정수'의 형태가 더해져있으면 이 정수는 밖으로 빠져나올 수 있습니다. 다시 본 문제로 돌아오면,

 

2x+[2x]+1 = 3.5

2x+[2x] = 2.5

 

가 됩니다. 위 식을 만족하는 2x는 직관적으로 생각해보면 1.5밖에 될 수없습니다. 왜냐하면, 누누이 말씀드리지만 가우스 기호를 씌운 값(여기선 [2x]) 자체는 어찌됐건 '정수'입니다. 따라서 2x + 어떤 정수 = 2.5 가 되어야하기 때문에 소수부분 0.5는 반드시 앞의 항 2x 가 포함하고 있어야합니다. 한편, 가우스 속에도 똑같은 [2x]가 들어있기 때문에 나머지 정수 2는 2x와 [2x]가 각각 1씩 가져가야 하므로 2x=1.5, [2x]=1 이 되어 이들의 합이 2.5를 이루게 할 수 있습니다.

 

2x = 1.5, [2x] = 1  →  2x+[2x] = 2.5

∴ x = 0.75

 

풀이 완료//

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정리

 

이번 포스팅에서는

 

1. 가우스 함수의 정의 및 성질

2. 가우스 함수 y=[x]의 그래프 및 y=x-[x]의 그래프 그리는 법

3. 가우스 기호가 포함된 방정식을 접근하는 방법론

 

 

에 대해 알아보았습니다.

 

가우스 함수는 교과과정에서는 제대로 다루지 않습니다.

 

그러나 그만큼 이 테마는 학생의 수학적 판단력과 접근법, 문제 해결 능력을 파악하는 데 자주 쓰입니다. 물론 제가 소개한 내용이 가우스 함수라는 거대한 빙산의 전체를 나타내지는 못합니다.

 

다만, 가우스 함수의 정의와 기본적인 성질, 가우스 기호를 정수로 환원시키는 방법만 잘 알아둔다면 여러 문제에 적용할 수 있을 것입니다.

 

기본을 익힌 후 다각도로 개념을 적용하는 학생이 되시기 바랍니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 합니다.