삼각형의 내심 공식, 증명, 성질

삼각형의 내심 공식, 증명, 성질

 

삼각형의 내심은 도형을 다룬 문제에서 간혹 등장해서 학생들을 괴롭히는 부분입니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1.  중학교 때 도형부분을 소홀히 한 학생

2. 삼각형의 내심에 대해 깊은 공부를 원하는 학생

3. 도형에 자신이 없는 학생

입니다.

 

 

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삼각형의 내심이란?

 

삼각형의 내심이란,

아래 그림과 같이 삼각형의 세 변에 접하는 원을 그 삼각형의 내접원이라 하고,

내접원의 중심을 그 삼각형의 내심이라고 합니다.

내심은 관례적으로 대문자 I로 나타냅니다.

 

 

 

 

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공식 증명 및 성질

 

1) 삼각형의 내심 작도법 

삼각형의 내심은 내심을 작도하는 법에서부터 출발합니다.

 

결론부터 말하면, 내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점 입니다.

왜 그런 지 살펴보겠습니다.아래의 그림에서

 

세 각의 이등분선의 교점을 I, I로부터 세 변에 그은 수선의 발을 각각 점 D, E, F라 하겠습니다.

 
위 그림에서

이면 I는 내심이라 할 수 있습니다.

 

왜 그럴까요?

위 식의 의미는

점I는 서로 다른 세 점 D, E, F로부터 같은 거리에 있는 점이다.

입니다. 「서로 다른 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점」바로 원의 중심이죠.

이때의 '같은 거리'는 원의 반지름이 될 것이구요.

 

그러면 이제

를 증명해보겠습니다.

 

 

분할된 여섯 개의 삼각형을 두 개씩 짝지어서 생각해보겠습니다.

짝지은 두 삼각형은 모두 RHA 합동 입니다.

 

RHA(Right angle, Hypotenuse, Angle) 합동은

1) 직각삼각형에서 2) 빗변의 길이가 같고 3) 직각을 제외한 나머지 한 내각이 같을 때

두 삼각형은 합동이라는 것입니다.

 

 

위 그림에서 같은 색깔로 칠한 삼각형이 서로 합동입니다. 삼각형이 서로 합동이면

대응하는 변의 길이가 모두 같아야 하므로

 

따라서, 본래 의도했던

가 유도되며, 이로부터 점 I는 삼각형ABC의 내심이 됩니다.

 

2) 내심과 관련된 공식

 

 

 

 

내심과 관련된 공식은 딱 하나 있습니다.

위 공식에서 S는 삼각형의 넓이, r은 내심의 반지름, a, b, c는 삼각형의 각 변의 길이 입니다.

이제부터 이 공식을 유도해보겠습니다.

 

 

 

위 그림에서 분할된 세 삼각형의 넓이는

 

와 같습니다.

이들 세 넓이의 합이 전체 삼각형 넓이 S와 같으므로,

 

공식 유도 끝//

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이번 포스팅에서는

 

1. 삼각형의 내심의 개념 과

2. 내심을 작도하는 법(내심의 성질),

3. 관련 공식을 유도

해보았습니다.

 

이 내용은 중학교과정 내용이며, 간혹가다가 도형 문제,

특히 도형이 연관된 함수극한문제에 출제되어 나옵니다.

 

따라서 미리 대비해두지 않으면

위에서 증명한 내심 관련 공식을 끌어다 쓸 수 없기에

이렇게 포스팅했습니다.

 

공식을 단순암기하기보다는

유도 과정을 기억하시고 직접 공식유도를 해 본 후

완전히 자기 자신 것 체화시키기 바랍니다.

 

그래야만 고등과정에서는 잘 쓰이지도않는 위 공식을

혹시모를 경우가 발생했을 시 재생해서 쓸 수 있기 때문입니다.