음함수의 미분 - 개념과 적용

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1. 음함수 소개

음함수(implicit function)란, 독립변수 x와 종속변수 y를 한 변(보통 좌변)에 몰아서 정리하는 형태로, 일반적으로 함수를  y=f(x)의 꼴로 정리하는 양함수(explicit function)와 비교됩니다. 예를들어 일차함수 y=3x+2를 음함수의 형태로 바꾸면 3x-y+2=0 의 꼴로 정리할 수 있는데 흔히 전자를 표준형, 후자를 일반형이라고 부릅니다. 모든 변수를 좌변에 몰아서 쓰기 때문에 음함수를 다음과 같이 일반화시켜서 말할 수 있습니다.

 

위 식은 좌변 f(x, y)가 두 변수 x와 y를 포함하는 식이고, 우변은 0인 음함수입니다.

우리가 함수를 음함수로 굳이 표현하는 이유는, 어떤 함수 관계 또는 도형을 명백히(=explicitly) y에 관해 정리할 수 없는 경우가 많기 때문인데요. 예를들어 x, y가 다음과 같은 관계라면 함수를 y에 관해 정리하기가 힘들겠죠.

 

이럴 땐 우변의 -2를 좌변으로 옮겨서 f(x, y)=0의 꼴로 만들어 주곤 합니다. 이제부터 음함수의 미분에 대해 알아봅시다.

 

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2. 합성함수의 미분 이해하기

음함수의 미분에 들어가기에 앞서 먼저 매개변수의 개념과 합성함수의 미분에 대해 알고 있어야합니다. 그러기 위해선 다음 식을 이해해야 합니다.

 

위 식은 다름아닌 합성함수의 미분을 나타내고 있습니다. 변수 y를 x로 미분하기 위해 매개변수 t로 좌변의 미분식을 연결해주고 있는데요. y와 x가 모두 t에 관해 매개화되어있다면 dy/dx를 바로 구하지 않고 위 합성함수의 미분법을 이용해서 간접적으로 구할 수 있습니다.

 

* 합성함수 미분의 간단한 증명

위 식에서 dy, dx, dt는 일반적인 항이 아니기 때문에, 이들이 사칙연산으로 연결된 위 식이 다소 어색해 보일수도 있습니다. 그런 분들은 다음 과정을 참고하세요.

 

변화량 Δy와 Δx, Δt는 '값'을 갖는 항이기 때문에 위처럼 쓸 수 있습니다. 식의 우변의 각각의 분수항의 극한값을 아래와 같이 표현할 수 있다면,

 

준식을 소개했던 합성함수의 미분 꼴로 유도할 수 있습니다. 물론 두 분수식의 극한값이 존재하지 않을 수도 있습니다만 일반적으론 존재합니다. 더 엄밀한 유도는 하지 않고 이정도로만 언급하겠습니다. 중요한 건, 특정 변수(y)나 식을 자신이 원하는 변수(t)로 미분하고 싶은데 주어진 미분이 원치않는 다른 변수(x)로 돼있을 시, 원래의 식을 t로 미분하고 뒤에 t를 x로 미분한 결과를 곱해준다는 개념으로 기억하시면 됩니다.

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3. 음함수의 미분

소개한 합성함수의 미분에 관한 개념을 그대로 음함수의 미분에 적용시킬 수 있습니다. 기억해야 할 건, 함수가 어떤 형태로 주어져있건간에 우리가 구해야 할 건 dy/dx라는 것입니다. 직교좌표계에서 미분이라는 연산이 의미를 가지려면 그 함수의 기울기를 의미하는 dy/dx를 얻어야하기 때문입니다.

 

예를 들어 음함수로 표현된 다음 원의 방정식을 봅시다.

 

위 식은 중심이 원점, 반지름이 2인 원을 나타냅니다. 우리는 음함수의 미분을 이용해 원 위의 한 점 (1, √3)에서의 기울기를 구할 것입니다. ( (1, √3)은 원 위의 한 점입니다. 대입해서 확인해보세요.)

 

 

우리가 구해야 할 값은 (1, √3)에서의 미분 계수입니다.

 

그러기 위해 주어진 원의 방정식의 양 변을 x로 미분합시다.

 

각 항들에 관해 미분을 수행하면,

 

여기서 좌변의 두 번째 항을 잘 보면, y²을 x에 관해 미분하고 있습니다. 음함수의 특성상 x와 y는 서로를 독립적인 변수로 인식하고 있기 때문에, y²의 입장에서는 x가 자신을 미분하려는 상황이 그리 달갑지만은 않을 것입니다. 즉 y²이라는 함수는 변수 y로만 미분가능하도록 학습되어 있는 것입니다. 따라서 미분이 가능하기 위해선 앞서 설명한 합성함수의 개념이 도입되어 두 변수가 서로 연결되어야만 합니다, 아래와 같이.

 

(x와 y가 서로를 독립적으로 인식한다는 말이, 두 변수가 함수 관계가 아니라는 뜻은 아닙니다. x와 y는 당연 '음함수'관계입니다만 이해를 돕기위해 위와같은 설명을 취했습니다.)

 

이렇게 얻은 식을 원래의 식에 대입하면,

 

따라서 원 위의 한 점 (x, y)에서의 미분계수는 x와 y의 비에 마이너스 부호를 붙인 값으로 나타나게 됩니다. 따라서, 원래 구하고자 했던 (1, √3)에서의 기울기는 다음과 같이 나옵니다.

 

* 음함수를 미분하는 과정

예를 통해 알아본 음함수 미분법을 일반화하여보면,

 

1. 주어진 함수의 양 변을 x에 관해 미분한다.

2. x에 관한 항은 그대로 미분한다.

3. 변수 y를 포함하는 항은 다음 합성 함수의 미분을 이용하여 정리한다.

 

4. 좌변에 dy/dx를 남기고 나머지 항들을 우변으로 넘겨 정리한다.

 

주의할 점은, x와 y가 함수 관계를 이루기 때문에 두 변수간에는 곱의 미분등의 일반적인 미분 법칙이 성립한다는 것입니다. 예를 들어서 다음 음함수를 미분해보면,

 

각 과정마다 미분이라는 연산을 엄밀히 수행하는 게 중요합니다.

끝//

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4. 정리

본 포스팅에서는 음함수의 개념과 그 음함수를 미분하는 방법에 관해서 정리해보았습니다. 개념 설명을 위해 합성함수의 미분이라는 중요한 선행 개념을 소개했으며, 이를 음함수의 미분에 그대로 적용하였습니다.

음함수의 미분의 개념을 이해하고 이를 적용할 줄 아는 게 중요합니다. 그렇게 해서 얻은 dy/dx가 좌표계에서 어떤 의미를 지니는 지를 아는 것은 물론이고, 미분을 적용하면서 어떤 개념과 아이디어가 녹아있는지 역시 잘 파악해야합니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.