무한급수 ∑(1/n)² 의 수렴, 수렴값 π²/6 증명

무한급수 ∑(1/n)² 의 수렴, 수렴값 π²/6 증명

 

∑1/n² 의 수렴 및 수렴값 증명(∑1/k² 수렴)

 

이 포스팅은

 

무한급수 ∑1/n² (시그마(sigma) 1/n^2, 시그마(sigma) 1/k^2 )이 수렴함을 증명하는 글 입니다.

 

현업에서 수학을 많이 쓰는 사람으로서,

그간 제가 해오던 방식대로 수학적 사고 과정을 고스란히 담아내면

많은 학생들에게 도움이 되지 않을까하여 이렇게 글을 씁니다. 

 

이 글이 필요한 학생은

1. 무한급수와 무한수열의 관계 정립이 잘 안 된 학생

2. 무한급수 ∑1/n² (또는 ∑1/k²)이 수렴함에 대한 증명이 궁금한 학생

3. 무한급수 ∑1/n² (또는 ∑1/k²)의 수렴값 π²/6 이 어떻게 나왔는 지 궁금한 학생

 

입니다.

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

그럼 포스팅 시작합니다.

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문제

 

무한급수 ∑1/n², 즉 1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+.....은 수렴함을 보여라.

 

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증명

 

1) 무한급수의 개념 및 성질

증명에 앞서 무한급수의 개념과 성질에 대해 간략히 살펴봅시다.

무한급수란 수열의 일반항을 한없이 더해나가는 것으로, 부분합의 극한값으로 정의됩니다.

 

즉, 무한급수의 값을 구하기 위해서는 부분합(Sn)의 값을 먼저 알아야 하고,

Sn을 알기 위해서는 일반항 an이 어떻게 생겼는 지를 파악해야하는 게 순서입니다.

 

무한급수의 중요한 성질로는,

Sn이 수렴하면 일반항 an은 반드시 0으로 수렴한다 는 성질이 있습니다.

 

이 명제가 앞으로 우리가 살펴 볼 ∑1/n² 의 수렴과 관련된 중요한 명제입니다.

위 명제의 증명은 간단합니다.

 

 

위 명제는 어느 수열에서나 성립하는 참인 명제입니다.

명제가 참이면 대우명제도 참이겠죠.

 

 

그러나 위 명제의 역은 거짓 입니다.

역명제가 거짓이라는 것의 반례로 일반항 an=1/n을 들 수 있습니다.

(일반항 1/n 자체는 n이 무한대로갈 때 0으로 수렴하나, 급수는 발산합니다.)

무한급수 ∑1/n 이 발산함에 대한 증명은 아래 링크를 참조하세요.

https://color-change.tistory.com/19

 

그러나 신기하게도, an=1/n² 일 때는 급수 ∑1/n² 는 π²/6 이라는 특이한 값으로 수렴합니다.

이제부터 이를 증명해보겠습니다.

 

  

2) ∑1/n² ( 시그마 1/n^2, 시그마 1/k^2 ) 이 수렴함을 증명

우리가 증명해야 할 대상을 한 번 적어봅시다.

 

 

이제부터 자연수의 역수의 제곱을 한없이 더하면 그 값은 수렴한다는 것을 증명할텐데요.

어떤 수열(혹은 급수)의 수렴이나 발산을 증명하는 방법으로는 여러가지가 있습니다.

우리는 그 중 비교판정법(Comparison Test) 이라는 기법을 쓰겠습니다.

 

아이디어는 이렇습니다.

「위 급수가 수렴하는 다른 급수(비교대상)보다 값이 작으면, 위 급수는 수렴한다」

입니다.

 

급수의 각 항을 1/n(n-1)의 분수형태와 비교해보겠습니다.

양수인 분수에서 분모가 작아지면 전체 값은 더 커지므로

아래와 같은 부등식을 세울 수 있습니다.

 

 

 

위 사실을 가지고 원래 무한급수의 수렴 혹은 발산 여부를 비교판정해보면,

 

 

 

따라서 ∑1/n^2 은 수렴하는 상수값 2보다 항상 작기 때문에 수렴합니다.

증명완료//

 

 

3) ∑1/n² ( 시그마 1/n^2, 시그마 1/k^2 ) 의 수렴값 π²/6(π^2/6) 증명

시그마(sigma) 1/n^2의 값은 π²/6 으로 알려져있습니다.

이에 대한 증명방법으로는 여러가지가 있으나

오일러(Euler)의 증명이 그나마 간단하고 직관적이라 여기서 소개하겠습니다.

 

함수 f(x)=sinx/x로 정의하고, y=f(x)의 그래프 모양을 생각해봅시다.

함수가 그냥 y=sinx라면 주기가 2π이고 최댓값이 1, 최솟값이 -1인 함수겠죠.

그 sinx를 x로 나눈 함수 f(x)는 x가 커지면 커질수록 분모의 값이 커지기 때문에

함수의 최대, 최소의 절댓값은 그만큼 작아질 것입니다.

 

또한 x가 0이 아닐 때 방정식 sinx/x=0의 해는 (x를 양변에 곱할 수 있으므로)

sinx=0의 해인 x=±π, ±2π, ±3π, ... 와 완전히 일치할 것입니다.

즉 f(x)=0 의 해, f(x)의 x절편은 x=±π, ±2π, ±3π, ... 가 됩니다.

 

한편, x가 0으로 갈 때 f(x)의 극한값을 생각해봅시다.

(함수 f(x)는 분모에 x가 있기 때문에 함수값 f(0)은 존재하지 않습니다.)

삼각함수의 가장 기본이 되는 극한값으로

x가 0으로갈 때 sinx/x의 극한값은 1이라는 성질이 있습니다.

 

이를 종합해서 y=f(x) 의 그래프를 그려보면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

위에서 x절편이 x=±π, ±2π, ±3π, ... 라는 말은

방정식 f(x)=0, 즉 sinx/x = 0 의 해가  x=±π, ±2π, ±3π, ... 라는 말과 같습니다.

 

천재수학자 오일러는 해가  x=±π, ±2π, ±3π, ... 인 다항식과 초월함수 f(x)를

다음과 같이 연결시켰습니다.

 

좌변에 있는 다항식과 우변에 있는 삼각함수식은 해가  x=±π, ±2π, ±3π, ... 인 식으로

서로 같은 식입니다.

 

한편, 테일러급수라는 게 있어서 (대학교과정)

초월함수 sinx를 아래와 같은 다항식으로 전개시킬 수 있습니다.

 

이를 위 식에 대입하면 다음과같이 됩니다.

 

이제 위 식에서 x²의 계수 에 주목해봅시다.

좌변에서 x² 의 계수는 -1/π²-1/4π²-1/9π²-1/16π²... 이고,

우변에서 x² 의 계수는 -1/6 입니다.

이 둘을 같다고 놓으면 아래와같이 식을 전개할 수 있습니다.

 

신기하게도 유리수 1/n² 의 무한급수는 무리수 π²/6 으로 나오는군요.

증명 완료//

 

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정리      

이번 포스팅에서는

무한급수 ∑1/n²의 수렴 및 그 수렴값에 대한 증명을 해보았습니다.

 

수열 혹은 급수의 수렴/발산에 관한 여러 증명법 가운데 하나인

비교판정법에 대해 알아봤고 이를 증명에 이용했습니다.

비교판정법은 대학교과정으로서 비록 고교수학 범위는 넘어서나, 아이디어를 알아놓으면

다른 부등식 관련 증명에서 유용하게 쓰일 수 있을것같아 이렇게 소개했습니다.

 

 

이 증명은, 무한급수와 무한수열의 중요한 관계인

Sn이 수렵하면 일반항 an은 반드시 0으로 수렴한다

는 명제의 역명제가 거짓이라는 반례인 ∑1/n과 비교되는 급수로 종종 거론됩니다.

 

자연수 역수의 합은 발산하는 반면 제곱의 합은 수렴한다는 사실과,

그 수렴값이 π²/6 이라는 특이한 무리수라는 신기한 사실을 알아보았습니다.

 

물론 증명과정 자체는 고교 수학을 넘어서나,

오일러라는 수학자의 뛰어난 발상법을 배울 수 있을 것 같기에 이렇게 소개했습니다.

제 글이 여러분의 상상력과 수학적 직관을 기르는 데 도움이 되기를 바랍니다.