[증명] 다항함수 x^n의 미분

[증명] 다항함수 x^n의 미분

 

1. 도입 

본 글에서는 y=x^n을 미분하면 왜 (n-1)x^n이 되는지에 대해 알아보겠습니다. 여러 학생들이 이 내용을 단순히 받아들여 문제에만 적용하고 있는데 그 증명이 궁금한 학생이 있을 것 같아 따로 정리해보려고 합니다. 선행되어야 할 개념은 다음 두 가지입니다.

 

ⓐ 미분(도함수)의 정의

ⓑ 이항정리

 

증명 과정속에서 두 개념이 어떻게 연관지어지는지 살펴보세요.

 

2. 증명

함수 y=x^n을 미분하기 위해선 다음 도함수의 정의를 이용해야 합니다.

 

이제 주어진 다항함수(x의 n승)를 f(x)라 두고 위 정의식에 그대로 대입하면,

 

우변의 분자에 있는 (x+h)ⁿ을 전개시키기 위해선 아래와 같은 이항정리의 정의를 이용해야 합니다.

 

위 식에서 a=x, b=h를 대입하면 (x+h)^n을 전개할 수 있습니다.(아래)

 

 

(설명이 기니 수식 전개가 더 이해가 편한 분은 아래 수식을 먼저 보고 다음 문단을 읽으세요.)

 

식의 우변에서 분자를 계산해야하는데요. 중괄호 안에 있는 항들을 잘 보시기 바랍니다.

첫번째 항(=nC0*x^n*h^0)을 계산하면 x^n이 되어 중괄호 뒤에 있는 x^n과 서로 상쇄되어 없어집니다. 한편, 두번째 항(=nC1*x^(n-1)*h^1)은 계산하면 n*x^(n-1)*h가 되는데 여기에 우리가 원하는 n*x^(n-1)이 들어있음을 확인할 수 있습니다. 여기서 h의 1승은 분모의 h와 약분되면 그 항이 사라지게 됩니다.

 

한편, 세번째 항부터 끝의 n번째 항은 각각 h에 관해 2차, 3차, ... n차식인데, 이들은 분모의 h와 약분되면 각각의 항들이 차수가 1씩 줄어들어 h에 관한 1차, 2차, ... (n-1)차식이 됩니다. 즉 이 항들은 약분되어도 h가 살아있게 되는 것이죠. 이들에게 h가 0으로 가는 극한을 취하면, 세번째 항부터는 모두 0으로 없어지게 됩니다. 설명한 내용을 전개하면 아래와 같습니다.

 

 

따라서 x^n을 미분하면 n*x^(n-1)이 나옵니다.

//증명 완료

 

3. 결론

이처럼 기본 다항함수를 미분의 정의와 이항정리식을 이용해서 엄밀하게 구할 수 있습니다. 본 내용은 '미분법 공식'에 나오는 내용이며, 식을 유도하다보면 관련 개념을 확인하고 제대로 익힐 수가 있습니다. 특히 x^n의 미분은 정말 기본중의 기본이기 때문에 소개한 유도과정은 차치하더라도 그 방법과 결과는 반드시 알고있어야 합니다.

제 글이 미분으로 힘들어하는 많은 학생들에 도움이 됐으면 좋겠습니다.