[유형별 정리]경우의 수 - 함수의 개수 문제

[정리]경우의 수 - 함수의 개수 문제

1. 들어가며

경우의 수 단원에서 함수의 개수를 구하는 문제가 유형별로 있습니다. 이번 포스팅에서는 다각도로 출제되는 함수의 개수 찾는 문제 유형에 대해 나름대로 정리해보고, 거기서 얻을 수 있는 접근법에 대해 알아보겠습니다.

 

이 내용은 현재(개정 7차 교육과정)는 고등학교 1학년 수학에서 다루고 있지만, 교육과정이 바뀌기 전에는 수학 1에서 다뤘고, 따라서 수능에서도 실제로 출제돼오던 것들입니다. 그러나 미적분과 통계 기본의 확률 파트에서 반드시 알아둬야할 개념들이기에 나름대로 정리해두면 좋을것 같아 포스팅하게됐습니다.

 

지금부터 소개하는 유형별 문제 풀이법만을 일차원적으로 알아선 안 됩니다. 논리 전개를 보면서 여러가지 경우의 수 관련 개념이 어떤 식으로 적용되는 지를 파악해야하고, 그걸 언제 어떻게 써먹을수 있을지를 고민해봐야 합니다.

 

그에 앞서 이 글을 이해하기 전에 미리 알아야 할 개념에 대해 간단히 짚고 넘어가겠습니다.

 

2. 선행 개념 소개

고교 과정에서 다루는 경우의 수는 크게 네 가지 - 순열, 조합, 중복순열, 중복조합 - 로 분류할 수 있습니다. 이 네 개념만 알면 확률이든, 단순 경우의 수 문제든, 나오는 모든 경우의 수를 구할 수가 있습니다. 이제부터 이에 대해 간단히 정리해봅시다.

 

1) 순열

순열은 순서를 고려한 나열입니다. n개의 원소중 서로 다른 r개를 뽑아 순서대로 나열하는 경우의 수는 다음과 같이 주어집니다.

 

2) 조합

조합은 순서를 고려하지 않고 뽑는 경우입니다. n개의 원소중 r개를 순서 고려 없이 뽑기만 하는 조합의 수는 다음과 같이 주어집니다.

 

2) 중복순열

중복순열은 n개중 r개를 뽑아 순서대로 나열하되, 중복을 허락하여 원소를 뽑을 수 있는 경우입니다. 중복순열은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

 

 

2) 중복조합

중복조합 역시 중복을 허락하여 모든 조합을 찾는 경우의 수입니다. n개의 원소중 중복을 허락하여 r개의 원소를 뽑는 중복조합은 다음과 같이 주어집니다.

 

* n과 r에 대한 첨언

위에서 소개한 원소의 개수 n과 r에 대해 주의할 점이 있습니다. 순열과 조합의 경우 전체 n개중 부분적으로 r개를 뽑아야 하므로 반드시 r≤n 을 만족해야합니다. (상식적으로 3개의 원소중 서로 다른 4개를 뽑을 수 없겠죠.) 하지만 중복순열과 중복조합의 경우, 중복을 허락하기 때문에 뽑는 원소의 개수 r이 주어진 원소의 개수 n보다 클 수가 있습니다. 가령 3개의 원소 중 중복을 허락한다면 4개든, 5개든 순열과 조합을 만들어낼 수 있습니다.

 

3. 함수의 개수 구하는 문제의 유형별 정리

지금부터 간단한 예를 들어 개념을 설명하겠습니다. X에서 Y로의 함수 f가 아래 그림과 같이 주어졌을 때, 다음 각 케이스별로 경우의 수를 구해봅시다.

 

i) 가능한 모든 함수의 개수

함수의 개수를 구하기에 앞서 함수의 정의를 되짚어봅시다. 함수란, 「집합 X에 포함된 모든 원소 x에 대해, 집합 Y의 원소에 각각 하나씩 대응되는 관계」를 이르는 말입니다. 여기서 중요한 건 함수가 성립하기 위해선 정의역 X에 포함된 원소들 전부가 공역 Y의 원소 어딘가에 대응이 되어야만한다는 것입니다. 즉 X에는 대응되지 않고 남아있는 원소가 있어선 안됩니다. 하지만 공역 Y에는 남는 원소가 있어도 됩니다. 또한, 대응될 때 Y의 원소 하나에 대해서만 되어야지, 여러 개가 한꺼번에 대응되어선 안 됩니다. 즉, 특정 x값으로부터 화살표가 하나만 나가야지, 두개 이상의 화살표가 대응관계를 이루면 함수라 할 수 없습니다. 아래 그림을 통해 어떤 게 함수이고 어떤게 함수가 아닌 지 파악하세요.

 

이제 함수의 정의를 알았으므로 가능한 모든 함수의 개수를 구해봅시다.

 

→ a가 대응할 수 있는 값 (f(a)): 1, 2, 3, 4 → 4개

→ b가 대응할 수 있는 값 (f(b)): 1, 2, 3, 4 → 4개

→ c가 대응할 수 있는 값 (f(c)): 1, 2, 3, 4 → 4개

→ d가 대응할 수 있는 값 (f(d)): 1, 2, 3, 4 → 4개

 

∴ 가능한 총 가지수 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256개

 

가능한 모든 함수의 개수는 중복순열과 관계있습니다.

 

위 식은 함수값이 될 수 있는 {1, 2, 3, 4} 중 4개를 중복을 허락하여 뽑아 일렬로 나열하는 중복순열입니다. 여기서 일렬로 나열한다는 말은 원소 a, b, c, d가 각각 적힌 어떤 자리에 1, 2, 3, 4를 중복을 허락하여 순서대로 나열하는 것으로 이해하면 됩니다.

 

ii) 일대일 대응의 개수

일대일 대응이란, 하나의 x에 대해선 하나의 y만 대응되는 관계를 말합니다. 즉, 특정 함수값을 갖는 x는 오직 하나인, "일대일 대응" 관계가 성립하는 함수입니다. 위 그림에서는 첫 번째 그림이 바로 일대일 대응에 해당합니다. 두번째 그림은 함수이긴 하나, 함수값 2에 대해 a, c, d가 대응관계를 이루고 있기 때문에 일대일 대응이 아닙니다. 일대일대응은 다음과 같은 수식으로 정의하기도 합니다. 참고하세요.

 

주어진 함수에서 일대일 대응의 개수를 구해봅시다.

 

→ a가 대응할 수 있는 값 (f(a)): 1, 2, 3, 4 → 4 개

→ b가 대응할 수 있는 값 (f(b)): f(a)에 대응된 함수값을 제외한 나머지 3 개 → 3 개

→ c가 대응할 수 있는 값 (f(c)): f(a), f(b)에 대응된 함수값을 제외한 나머지 2 개 → 2 개

→ d가 대응할 수 있는 값 (f(d)): f(a), f(b), f(c)에 대응된 함수값을 제외한 나머지 1 개 → 1 개

 

∴ 가능한 총 가지수 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24개

 

일대일 대응의 개수는 순열과 관계있습니다.

 

위 식은 함수값이 될 수 있는 {1, 2, 3, 4} 중 4개를 뽑아 일렬로 나열하는 순열의 개수입니다. 여기서 일렬로 나열한다는 말은 원소 a, b, c, d가 각각 적힌 어떤 자리에 1, 2, 3, 4를 순서대로 나열하는 것으로 이해하면 됩니다.

 

iii) f(a) < f(b) 를 만족하는 함수의 개수

지금부터 소개하는 아이디어가 중요합니다. 잘 기억해뒀다가 비슷한 방법으로 다른 문제에도 적용해보세요.

특정 원소 a, b의 함수값 f(a), f(b)가 부등식 f(a)<f(b)를 만족하는 함수의 개수는 몇 개일까요? 얼핏 생각해보면 쉬울 것 같으면서도, 일일이 하나하나 해보기엔 꽤 복잡한 문제가 됩니다. 예를들어 조건을 만족시키는 함수에는 다음과같은 것들이 있습니다.

 

f(a)=1, f(b)=2, f(c)=4, f(d)=3

f(a)=2, f(b)=4, f(c)=1, f(d)=2

 

반면 다음과같은 것들은 제외시켜야할 것들입니다.

f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1, f(d)=3

f(a)=3, f(b)=3, f(c)=3, f(d)=2

 

즉, 우리는 함수값 f(b)가 f(a)보다 크게만 만들어주면 됩니다. 나머지 f(c), f(d)는 어떤 순서가 와도 상관 없습니다. 어떻게하면 될까요? 이 문제는 조합의 힘을 빌리면 됩니다.

공역에 있는 네 개의 원소 {1, 2, 3, 4}중 f(a), f(b)로 사용할 두 가지 숫자를 뽑는 조합을 생각해봅시다. 그 조합은 다음과 같이

 

으로 나옵니다. 한편, 우리가 뽑은 여섯가지 조합에는 순서가 고려되어있지 않습니다. 즉 조합이라는 개념에는 순서를 고려하지 않고 그냥 뽑아만 두는 컨셉이 들어있는 것이죠. 4C2에 들어있는 6가지 조합을 나열해보면 아래와 같습니다.

 

→ (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) ; 6가지.

 

임의로 왼쪽에는 작은 수를, 오른쪽에는 큰 수를 적어서 순서쌍을 만들었습니다. 이제 여기에 a와 b를 대응시키면 되는데, f(a)<f(b)를 만족시키려면 왼쪽 숫자(작은 숫자)에는 a를, 오른쪽 숫자(큰 숫자)에는 b를 대응시키면 됩니다. 즉 뽑아놓은 6가지 조합이 곧 f(a)와 f(b)가 될 수 있는 함수값들이 되는 것입니다.

 

윗 문단의 행간의 의미를 잘 파악해야합니다. 우리는 이 문제를 풀기 위해 먼저, 순서를 고려하지 않고 뽑는 조합의 개수를 구했습니다. (4C2) 그렇게 해서 얻어진 각각의 조합이 있을 때, 작은 수에는 f(a)를, 큰 수에는 f(b)를 그냥 대응만 시켜줌으로써 f(a)가 f(b)보다 작게 만들 수 있는 모든 경우의 수를 구할 수 있었습니다. 일단 뽑아놓고 그 다음부터 조건에 맞게 지정해주는 아이디어, 그 아이디어를 알아두는 게 중요합니다.

 

한편 c와 d에는 아무 제약조건이 없으므로, i)에서 구했던것처럼 f(c)와 f(d)에 각각 네 가지의 함수값이 가능합니다. 따라서 답을 정리하면,

 

 

총 96가지가 나옵니다.

 

iv) f(a) ≤ f(b) ≤ f(c) 를 만족하는 함수의 개수

이제 등호가 들어가서 좀 더 복잡해진 상황을 고려해봅시다. f(a) ≤ f(b) ≤ f(c) 를 만족시키는 함수의 개수는 어떻게 구할 수 있을까요? 이제는 f(a)와 f(b), 그리고 f(c)가 서로 같아도 되는 상황까지 고려해야 합니다. 예를들어 조건을 만족시키는 함수에는 다음과같은 것들이 있습니다.

 

f(a)=1, f(b)=2, f(c)=4, f(d)=3

f(a)=1, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=1

f(a)=4, f(b)=4, f(c)=4, f(d)=2

 

반면, 다음과 같은 함수들은 제외시켜야합니다.

 

f(a)=2, f(b)=2, f(c)=1, f(d)=3

f(a)=2, f(b)=3, f(c)=1, f(d)=1

f(a)=4, f(b)=3, f(c)=4, f(d)=2

 

어떻게하면 될까요?

눈치가 빠른 학생이라면 이 문제가 중복조합과 관련되어있다는 것을 알아차릴 것입니다. 세 변수 a, b, c의 함수값으로 쓸 값들을 공역 Y={1, 2, 3, 4}에서 세 개를 뽑되, 순서 상관 없이 중복을 허락하여 뽑아봅시다

 

20가지의 중복조합 중에는 다음과 같은 것들이 있을 것입니다.

 

(1, 2, 4), (1, 1, 2), (4, 4, 4), (1, 3, 3), ...

 

전과 같이, 임의로 왼쪽에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 커지도록 순서쌍을 작성해보았습니다. 중복이 허락되었기때문에 같은 숫자들도 한 순서쌍 안에 나타나는 걸 확인해 보세요. 이제 여기에 f(a), f(b), f(c)를 각각 대응시키면 되는데 f(a) ≤ f(b) ≤ f(c) 라는 조건을 만족시키려면 왼쪽 숫자에는 a를, 가운데 숫자에는 b를, 오른쪽 숫자에는 c를 대응시키면 됩니다. 즉 뽑아놓은 스무가지의 중복조합이 결국 f(a), f(b), f(c)가 될 수 있는 함수값들의 가지수가 됩니다.

 

조합에서와 마찬가지로, 중복조합 역시 순서를 고려하지 않기 때문에 일단 뽑아두고 그 다음에 f(a), f(b), f(c)를 '지정하는' 식의 접근이 가능합니다. 다만 조금 다른 게 있다면 조건에서 등호가 들어갔기 때문에 f(a), f(b), f(c)가 서로 같아도 되는, 중복을 허락한다는 개념이 들어간 것뿐입니다.

 

한편 d는 아무 네 숫자중 아무 값이나 함수값으로 취할 수 있으므로, 이를 통해 답을 내려보면,

 

총 80가지의 함수의 개수가 가능합니다. 원리, 원칙 없이 80개를 일일이 세어보기란 여간 까다로운 게 아닙니다.

 

4. 정리

 

지금까지 고교과정에서 다루는 '경우의 수' 관련 개념을 토대로 함수의 개수 찾는 문제들을 유형별로 살펴보았습니다. 본문에서 이용한 개념들은 아래 네 가지로 정리할 수 있었습니다.

 

- 순열

- 조합

- 중복순열

- 중복조합

 

중복순열은 함수의 최대 개수, 순열은 일대일 대응, 조합과 중복조합은 특정 부등식을 따르는 함수의 개수를 구하는 문제에 이용됨을 확인했습니다. 소개한 개념들과, 이 개념들이 각 문제 상황에 따라 어떻게 다르게 적용되는지 그 원리를 파악하는 게 중요합니다. 특히 조합과 중복조합의 접근법이 특이하고 쉽게 생각하지 못할 수 있기 때문에 잘 기억해두는 게 좋습니다. 유형별 문제 접근법은 그리 권장할만한 수학공부 방식이 아니지만, 이 예제만큼은 알아두면 좋을것같아 제 나름대로 정리해보았습니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.