(총정리) 이항정리 관련 공식 유도- 개념, 응용, 공식, 증명

(총정리) 이항정리 관련 공식 유도

- 개념, 응용, 공식, 증명

 

 

이 포스팅은 이항정리 관련 공식을 정리하고 유도하는 글 입니다.

 

 

이항정리는 고교 수학 미적분과 통계 기본의 후반부 - 확률과 통계 파트- 에서 처음 소개되는 내용으로, (a+b)ⁿ의 다항식, 즉 이항(二項, 두 개의 항, binomial)으로 이루어진 다항식을 전개했을 때 각 항의 계수가 어떻게 얻어지는 지에 관한 탐구입니다.

특히 이 단원은 내용이 생소한 데다 공식도 많기 나오기 때문에 버거워하는 학생들이 많은데요. 모든 식을 일일이 외우려하지 마시고 어떤 개념을 이용하는 지를 파악하는 게 중요합니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 이항정리의 개념이 궁금한 학생

2. 이항정리의 일반항이 어떻게 유도되는 지 궁금한 학생

3. 이항정리의 관련 공식이 어떻게 유도되는 지 궁금한 학생

4. 이항정리의 공식을 어떻게 적용하는지 궁금한 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

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2. 이항정리의 일반항 공식 및 버금 공식:(1+x)ⁿ 

i) 이항정리의 일반항

(a+b)ⁿ를 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 때 시그마(∑)속의 항을 수열의 r번째 항처럼 생각할 수 있으므로 그 유사성을 빌려 '일반항'이라 명명합니다.

일반항의 계수가 nCr로 주어짐에 주목하시기 바랍니다.

 

ii) 버금 공식(딸림 공식) : (1+x)ⁿ

위 식에 a=1, b=x를 대입한 식, 즉 (1+x)ⁿ 의 전개식이 중요한 의미를 가집니다

 

이제부터 이 공식들의 유도 및 활용에 대해 다루겠습니다.

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3. 이항정리의 일반항 공식 유도       

i) 차수(次數)의 이해

식을 소개하기에 앞서 중학교 때 처음 다루는 항의 차수(次數)에 대해서 간단하게 짚고 넘어갑시다. 차수란 단항식에서는 포함된 문자 인수의 개수를, 다항식에서는 다항식 안에 포함된 단항식들 중 가장 높은 멱수를 의미합니다.

 

예를 들어 단항식 3x²은 x에 관한 2차를, -5y⁴는 y에 관한 4차를, 7x²y³은 x, y에 관한 5차를 의미합니다. 이 때 마지막 7x²y³을 x에 관한 단항식으로 본다면 y는 상수로 취급되어 x에 관한 2차로 보기도 합니다. (식에서 문자를 어떤 것으로 볼 것인지에 따라 차수가 달라지기 때문에 정확한 기준을 가지고 몇 차인 지를 정해줘야 합니다.) 한편, 다항식 a³ + 2ab을 a, b에 관한 식으로 본다면 단항식들 중 차수가 가장 높은 a³이  이 다항식의 차수가 되며, 2ab의 2차는 차수를 정하는 데 아무런 영향을 미치지 않습니다. 따라서 이를 "a³ + 2ab는 3차식" 이라고 표현합니다.

 

그렇다면 (a+b)³ 은 어떻게 될까요? 식을 전개해보면 (곱셈공식)

 

이 되는데, 우변의 항들은 모두 a, b에 관한 3차임을 알 수있습니다. 즉 (a+b)³은 "3차 다항식"이라고 할 수 있으며, 식을 전개했을 때 나오는 모든 항들이 a와 b에 관한 3차가 될 수 있는 모든 단항식들의 조합으로 나오게 됩니다.

 

이러한 차수의 개념은 다항식을 다룰 때 항상 지니고 있어야 합니다.

 

ii) 이항정리 일반항 공식 유도

a. 전개식에 나타나는 항들의 형태

이항정리에서 소개되는 일반적인 다항식 (a+b)ⁿ은 a, b에 관한 n차 다항식이며, a와 b에 관한 n차가 될 수 있는 모든 단항식을 포함해야 합니다. 즉, (a+b)ⁿ을 전개했을 때 나오는 항들은 다음과 같은 꼴이 됩니다.

 

중간에 삽입한 항이 이들을 일반적인 형태로 표현한 n차 단항식입니다. 즉 r=0 부터 r=n까지 변화시키면 a, b에 관한 n차 단항식을 모두 표현할 수 있습니다. 이제부터 이 n차 단항식의 계수에 대해 알아봅시다.

 

b. 전개식 (a+b)³

앞서 예로 든 (a+b)³을 생각해봅시다. 각 3차 단항식의 계수들을 정리하면,

 

이들의 계수는 어떻게 얻어진 것일까요?

 

이항정리의 핵심 내용은 "한 문자를 서로 다른 객체로 간주하기" 입니다.

 

위 (a+b)³은 (a+b)를 세 번 곱한 (a+b)(a+b)(a+b) 로 볼 수 있는데, 문자 b를 각각 서로 다른 b1, b2, b3라고 간주하고 전개해봅시다. 그렇게 하는 이유는 식이 어떤 식으로 전개되는 지, 그 구조를 좀 더 잘 파악하기 위함입니다.

 

b1, b2, b3를 다시 b로 바꾸면 원래의 전개식이 소급됨을 알 수 있습니다.

 

여기서 우변의 두 번째 항과 세 번째 항을 봅시다. 원래라면 3a²b가 되어야 할 자리에 (b1+b2+b3)a² 으로 표현되어 있는데, 이는 b의 1차항들(b1, b2, b3)중 하나를 뽑아서 모두 더함으로써 나온 것입니다. 또한 3ab²이 들어와야 할 자리에 (b1b2+b2b3+b3b1)a가 있는 것은 b에 관한 1차항들(b1, b2, b3) 중 두 개를 뽑아서 곱한 뒤 그들을 각각 더한 결과입니다. 같은 논리로 마지막 항 b1b2b3는 원래 식의 b³은 사실 각각의 b의 1차항들(b1, b2, b3) 중 세 개를 뽑아 이들을 곱한 항임을 의미합니다. 첫번째 항은 (b1, b2, b3) 중 아무 것도 뽑지 않고 a만으로 3차 단항식을 만든 것으로 볼 수 있습니다.

 

이를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

위 그림처럼 (a+b)³의 전개식에서 각 3차 단항식들의 계수는 조합을 써서 나타낼 수 있습니다. 삼차 다항식에서 항 a³는 (a³b^0으로 생각할 수 있으므로) 계수를 세 개의 문자 b1, b2, b3가 들어있는 주머니에서 하나도 뽑지 않는 경우인 3C0으로 생각할 수 있습니다. 항 a²b¹의 계수는 그 주머니에서 b1, b2, b3를 각각 하나씩 뽑아서 만들 수 있는 조합, 즉 3C1로 생각할 수 있고, 같은 논리로 항 a¹b²는 3C2, 마지막 항 b³의 계수는 주머니에서 세 문자 모두를 뽑아 만든 조합, 즉 3C3으로 구할 수 있습니다. 이를 일반항의 개념으로 생각하면, 항 a^{3-r}b^{r}의 계수는 서로 다른 3개의 b들(b1, b2, b3) 중에서 r개를 뽑아 만든 조합, 즉 3Cr 이 됩니다.

 

c. 일반적인 전개식 (a+b)ⁿ

위 내용을 일반적인 n차 이항정리에 적용하면, 항 a^{n-r}b^{r} 의 계수는 서로 다른 n개의 b들(b1, b2, b3, ... bn) 중에서 r개를 뽑아서 만든 조합, 즉 nCr이 됩니다.

 

이 때 r의 범위는 0≤r≤n 이며, 전개식 자체는 r=0부터 n까지의 일반항들의 합이 됩니다.

 

iii) 버금 공식 유도 및 적용

이항정리에서 a=1, b=x로 대체하면 다음 유의미한 식이 얻어집니다.

 

여기서 1의 모든 거듭제곱(식에서 1^{n-r})은 1로 나온다는 사실을 이용했습니다. 앞으로는 이 식이 중요하므로 따로 익혀두시기 바랍니다. 위 식의 x를 하나의 변수로 보고 여러 연산을 행해보겠습니다.

 

a. x=1

식의 x에 x=1을 대입하면 다음 공식을 얻습니다.

 

nC0부터 nCn까지의 합은 2ⁿ이 됩니다.

 

b. x=-1

식의 x에 x=-1을 대입하면 다음 공식을 얻습니다.

 

nC0부터 부호를 번갈아가면서 더하면 (홀수는 -, 짝수는 +) nCn까지의 합이 0이 됩니다. 만약 n이 짝수라면 마지막 항은 +nCn이 될 것이고, n이 홀수라면 마지막 항은 -nCn이 될 것입니다.

 

예를 들어 n=6일 때 위 식은

 

와 같이 되고, n=5일 때 위 식은

 

이 됩니다. n이 짝수건 홀수건 부호를 번갈아가면서 조합을 순서대로 더해나가면 0이라는 게 중요합니다.

 

c. 공식 a와 b의 합 또는 차

공식 a와 b의 양변을 통째로 합하면 아래처럼 유의미한 결과를 얻습니다.

 

조합에서 짝수인 항을 더해나가면 그 결과는 2^{n-1}이 나옵니다. 뒷부분을 dot dot dot 으로 처리한 이유는 n의 홀짝에 따라서 식이 바뀌기 때문입니다.

n이 짝수이면 두번째 식의 (-1)ⁿnCn이 +nCn이 되어 공식이 nCn까지의 합으로 되나, n이 홀수이면 (-1)ⁿnCn 항이 -nCn이 되어 공식은 nCn-1 까지의 합으로 나옵니다. 어찌됐건 nCr에서 r이 짝수인 모든 항만을 순차적으로 더해나가면 2^{n-1}이 된다는 사실만 기억하면 됩니다.

 

한편, 공식 a와 b의 양변을 통째로 합하면 아래처럼 유의미한 결과를 얻습니다.

 

조합에서 홀수인 항을 더해나가면 그 결과는 2^{n-1}이 나옵니다. 마찬가지의 이유로 뒷부분을 dot dot dot 으로 처리했습니다. 몇가지 예를 들어보겠습니다.

 

n=7일 때

 

n=8일 때

 

d. x로 미분한 뒤 x=1 대입

소개한 공식을 x로 미분하면 다음과 같이 됩니다,

 

다소 복잡한 이 식에 x=1을 대입하면 다음과 같은 유의미한 식을 얻어냅니다.

 

* 비슷한 방법으로 양 변을 적분해서 식을 얻어낼 수 있는데 그것은 여러분의 몫으로 남겨둡니다.

 

e. x=i 대입. (단, i = √-1)

식의 x에 허수 i를 대입해봅시다.

 

우변의 복소수를 실수부분과 허수부분으로 나누어서 정리했습니다. 짝수 항과 홀수 항끼리 묶여있는데 이들의 부호가 번갈아가며 더해진다는 것에 주목하시기 바랍니다. (앞서 a, b, c에서 소개한 공식들과는 약간 다릅니다. 확인해 보세요.)

 

다소 난해해 보이는 이 식을 다음 문제에 적용해봅시다.

 

조합의 짝수와 홀수 항들이 부호가 바뀌며 더해지고 있습니다. 소개한 공식의 n에 2012를 대입해봅시다.

 

좌변의 (1+i)^{2012}는 아래와 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

 

따라서 (1+i)^{2012}는 실수 부분은 -2^{1006}, 허수부분은 0임을 알 수 있습니다. 이 결과를 원래의 식에 적용하여 복소수 항등을 쓰면,

//풀이 완료

 

f. (1+x)²ⁿ

버금공식의 n대신에 2n을 넣어봅시다.

 

좌변을 원래의 (1+x)ⁿ의 제곱, 즉 (1+x)ⁿ*(1+x)ⁿ으로 보고, 우변에서 중간에 나오는 xⁿ 항을 명기하면,

 

위 식의 좌변에서 (1+x)ⁿ을 다시 원래의 버금공식으로 환원하면 다음과 같이 됩니다.

 

식의 양 변 모두 x의 2n차식입니다. 그 중 xⁿ 항의 계수에 주목해봅시다.

 

우변의 중간에 그 계수는 2nCn이라는 게 나와있습니다. (이항정리 일반항 공식을 생각하면 당연한 결과입니다.)

한편, 좌변을 전개시키면 상수항부터 x²ⁿ 까지 나오는데 그 중 xⁿ을 만드려면 어떻게 하면 될까요? 바로, 좌변의 첫번째 괄호와 두번째 괄호에서 적절한 항을 뽑아서 곱해줌으로써 xⁿ을 만들면 됩니다. 가령 첫번째 괄호에서 x^0, 즉 상수항을 뽑았다면 두번째 괄호에선 xⁿ항을 뽑아 이들을 곱해주면 됩니다. 첫번째 괄호에서 x¹을 뽑았다면 두번째 괄호에선 x^{n-1}을 뽑아서 이들을 곱해주면 xⁿ이 나옵니다. 이런 모든 가능성 있는 조합들을 곱해서 더해주면 그게 좌변에서 구한 xⁿ의 계수가 될 것입니다.

 

조합의 중요한 성질 중 하나로 다음 식이 있습니다.

 

이를 이용해서 식을 정리해보면,

 

조합의 각 항들의 제곱을 차례로 더하면 2nCn 이라는 결과를 얻습니다.

//끝

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정리

이번 포스팅에서는

1. 이항정리의 일반항 공식 소개와 유도

2. 이항정리 관련 딸림공식의 소개와 그 유도

3. 딸림공식을 이용한 여러 조합 관련 공식을 유도

해보았습니다. 

 

이 파트는 조합에 관련된 공식이 워낙 많고 그 응용 가능성이 무진하기 때문에 학생들이 상당히 버거워하는 부분입니다. 사실 소개해드린 공식이 거의 모든 공식의 압축판이라고 봐도 무방합니다. 저도 포스팅하면서 어디까지 정리할까 고민하다가, 내친김에 생각나는 모든 공식을 망라해보았습니다. 증명 과정은 최대한 자세히 적었으나, 제 선에서 과감히 생략한 부분도 있습니다. 따라서 궁금한 점 있으시면 쪽지가 아닌 댓글로 달아주시면 성실하게 답변해드리겠습니다.

 

내용을 이해하고 직접 백지에서 증명해 나가는 걸 권장합니다. 저도 이 하얀 윈도우 창에서 출발해서 생각나는대로 정리한 것이니, 여러분도 그걸 못할 이유가 없습니다. 처음엔 힘들지 모르겠으나 후엔 반드시 여러분의 수학 실력의 자양분이 될 것입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.