각뿔의 부피가 각기둥 부피의 1/3인 이유 (원뿔의 부피, 삼각뿔의 부피, 사각뿔의 부피)

각뿔의 부피가 각기둥 부피의 1/3인 이유

 -원뿔의 부피, 삼각뿔의 부피, 사각뿔의 부피 구하는 법

 

이 포스팅은 각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 1/3인 이유 및 그 증명에 관한 글 입니다.

 

 

각뿔, 혹은 일반적인 뿔의 부피는 (밑넓이가 동일한) 기둥 부피의 1/3 으로 주어진 다는 것은 초등학교때부터 배웁니다. 초등학교때는 뿔에다가 밀도가 일정한 액체를 가득 채워 그것을 기둥에 부으면 정확히 세 번만에 기둥이 그 액체로 가득 찬다는 사실을 경험적으로 배웁니다. 그러나 구분구적법과 적분을 배우기 시작하는 고교수학에서는 이를 수학적으로 증명할 수 있습니다. 이번 글에서는 일반적인 뿔(원뿔, 삼각뿔, 사각뿔, ...)의 부피를 적분을 통해 구해보겠습니다.

 

이 글이 필요한 학생은

1. 뿔의 부피가 왜 기둥의 부피의 1/3으로 주어지는 지 궁금한 학생

2. 각뿔의 부피를 구분구적법으로 구하는 방법이 궁금한 학생

3. 그 외 정적분과 구분구적법을 활용하는 법을 제대로 익히고자하는 학생

입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.

 

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뿔의 부피와 기둥의 부피의 관계

 

뿔의 부피는 동일한 밑넓이를 가지는 기둥의 부피의 1/3입니다.

 

위 그림에서 밑넓이의 면적이 S, 높이가 h로 주어지는 기둥의 부피는 V=Sh 입니다.(정의)

이 때, 동일한 밑넓이를 가지는 뿔의 경우 부피는 V=(1/3)*Sh로 구할 수 있습니다.

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뿔의 부피가 기둥 부피의 1/3이 되는 이유 증명

i) 구분구적법

구분구적법은, 도형을 우리가 구할 수 있는 요소로 n등분해서 그들의 넓이나 부피의 합을 구한 후 n을 무한대로 보내는 극한을 취하는 방법입니다. (구분구적법은 초등학교 때 원주율 파이(π)를 도입하면서 잠깐 언급됩니다.)

 

1. n등분

2. 각 요소들의 합

3. n→∞

 

특히 3번은 요소를 무한히 잘게 쪼갠다는 뜻입니다.

 

 

위 그림처럼 뿔을 n등분하여 생긴 각 요소(기둥 모양)들의 밑넓이를 각각 S1, S2, S3, ... Sn 이라고 둡시다. 이 때 마지막 n번째 기둥의 밑넓이 Sn은 원래 주어진 밑넓이 S와 일치합니다. 이제부터 이들의 부피의 합을 구할 것입니다.

「기둥의 부피 = 밑넓이 x 높이」

로 정의되므로, 각 요소들의 밑넓이와 높이를 각각 구해서 곱해주면 됩니다.

 

a. 높이

먼저 높이를 구해보겠습니다. 뿔을 n등분 했으므로, 각 요소들의 높이는 원래 높이의 1/n 배와 같습니다. (아래 그림)

 

b. 밑넓이

밑넓이를 구하기 위해선 닮음에 관한 다음 내용을 알아야 합니다.

「닮음비(길이의 비)가 m:n이면 넓이의 비는 m²:n²이다.」

그림을 잘 보면, 도형들이 서로 닮음임을 알 수 있습니다.

 

첫 번째 기둥과 맨 아래 기둥의 닮음비는 1:n 입니다.(높이의 비)

두 번째 기둥과 맨 아래 기둥의 닮음비는 2:n 입니다.(높이의 비)

세 번째 기둥과 맨 아래 기둥의 닮음비는 3:n 입니다.(높이의 비)

네 번째 기둥과 맨 아래 기둥의 닮음비는 4:n 입니다.(높이의 비)

....

n 번째 기둥과 맨 아래 기둥의 닮음비는 n:n 입니다.(높이의 비)

 

따라서,

S1과 Sn(=S)의 비는 1²:n² 입니다.

S2와 Sn(=S)의 비는 2²:n² 입니다.

S3과 Sn(=S)의 비는 3²:n² 입니다.

S4와 Sn(=S)의 비는 4²:n² 입니다.

...

Sn와 Sn(=S)의 비는 n²:n² 입니다.

 

 

c. 부피

각각의 기둥들의 부피를 V1, V2, V3, ... Vn 이라고 두면, 정의에 의해 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

이들의 합은 시그마(sigma, ∑)를 이용해서 나타낼 수 있습니다.

 

d. n을 무한대로 보내기(무한등분)

n을 무한대로 보낸다는 것은, 각 요소들을 무한히 잘게 쪼갠다는 뜻입니다. 그렇게 하면 각 요소들의 합이 뿔의 부피와 일치할 것입니다.

수열의 극한에서 ∞/∞꼴로 주어지는 경우에는 극한값이 최고차항의 계수에 비례함을 이용했습니다.

//유도 완료

 

ii) 정적분

적분을 이용해 부피를 구하는 법은 구분구적법과 비슷합니다. (사실 정적분의 정의는 구분구적법으로부터 파생된 것이죠.)

 

위 그림처럼 뿔의 맨 끝을 x=0, 맨 아래를 x=h로 좌표를 잡고, 임의의 지점 x=x가 되는 곳에서 생기는 단면적을 S(x)라고 합시다. 매우 작은 길이 dx (x의 미소 증분)만큼 더 갔을 때 생기는 기둥의 부피를 V(x)라고 하면, V(x)는 다음과 같이 주어집니다.

이 때 S(x)는 위에서 소개한 닮음비에 의해 '길이의 제곱비'로 표현되어, (x/h)²*S 로 나타냈습니다.

이제 원래 뿔의 부피는 주어진 좌표계에서 x=0부터 x=h까지 V(x)를 적분해주면 됩니다.

//유도 완료

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이번 포스팅에서는 뿔의 부피가 기둥 부피의 1/3이 되는 이유를

1. 구분구적법

2. 정적분

을 통해 알아봤습니다.

 

구분구적법과 정적분은 미적분에서의 핵심 개념이며, 곡면 등을 다룰 때 자주 쓰입니다. 이를 이용하면 뿔의 부피뿐만아니라 도넛츠(환, annular)나 구의 겉넓이, 부피 등을 구할 수도 있으며, 물리 운동을 해석할 때도 유용하게 쓰입니다.

이처럼 실생활의 경험적인 내용이 수학적으로도 증명 가능한 예는 상당히 많습니다. 수능도 점점 실생활에 접목시켜 문제를 많이 출제하는 경향이니, 실례(實例)를 가지고 사고하는 습관을 기른다면 후에 큰 도움이 될 것입니다.

 

제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 좋겠습니다.